Question

【題目】己知函數(shù)（是常數(shù)，且）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)在處取得極值時(shí)，若關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證:當(dāng)，時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間是；

（2）實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（3）證明見(jiàn)詳解；

【解析】

（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到.

（2）在處取得極值，可得，解得，關(guān)于的方程化為，令（），利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性極值與最值，關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，必須滿足解得即可.

（3）由（1）和（2）可知當(dāng)時(shí)，，即，可得當(dāng)時(shí)，，令，則，利用“累加法求和”、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、放縮、“裂項(xiàng)求和”即可證出.

（1）

若，則，

若，則，

的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）在處取得極值，

，解得，

，

關(guān)于的方程化為，

令（），

，

令，解得或，

令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，

關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

則，即，解得，

實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（3）由（1）和（2）可知，當(dāng)時(shí)，，即，

當(dāng)時(shí)，，

令，則，

依次取，

累加求和可得

，

當(dāng)時(shí)，，

，

，

當(dāng)，時(shí)，