Question

已知直線l₁：2x-λy=0，l₂是過定點A（0，2），且與向量

a

=（1，-

λ

2

）平行的直線，則l₁與l₂交點P的軌跡方程是

x²+（y-1）²=1

，軌跡是

以（0，1）為圓心、1為半徑的圓

．

Answer 1

分析：設(shè)點B（x，y）是直線l₂上的動點，利用向量平行的條件并結(jié)合題意，算出過定點A（0，2）且與向量

a

=（1，-

λ

2

）平行的直線為l₂：y=-

λ

2

x+2，將其與直線l₁方程消去λ，化簡整理得x²+（y-1）²=1，即可得到l₁與l₂交點P的軌跡是以以（0，1）為圓心，1為半徑的圓，從而得到答案．

解答：解：設(shè)點B（x，y）是直線l₂上的動點，
∵l₂是過定點A（0，2），且與向量

a

=（1，-

λ

2

）平行的直線，
∴向量

AB

=（x，y-2）與向量

a

=（1，-

λ

2

）平行，可得x•（-

λ

2

）=1×（y-2）
整理得y=-

λ

2

x+2，即為l₂直線的方程
將l₂的方程與直線l₁：2x-λy=0消去λ，化簡得x²+（y-1）²=1，即為l₁與l₂交點P的軌跡方程．
由圓的標準方程，可得該軌跡是以（0，1）為圓心，1為半徑的圓．
故答案為：x²+（y-1）²=1，以（0，1）為圓心、1為半徑的圓

點評：本題著重考查了向量平行的條件、動點軌跡方程的求法、圓方程的幾種形式及其化簡等知識，屬于中檔題．