如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）d的離心率為
2
2
，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4（
2
+1）．一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（2）是否存在常熟λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，請說明理由．
（1）由題意知，橢圓離心率為
c
a
=
2
2
，得a=
2
c，
因為2a+2c=4(
2
+1)，所以可解得2
2
，c=2，所以b2=a2-c2=4，
所以橢圓的標準方程為
x2
8
+
y2
4
=1，
所以橢圓的焦點坐標為（±2，0），
因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，
所以該雙曲線的標準方程為
x2
4
-
y2
4
=1；
（2）設點P（x0，y0），直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，則k1•k2=
y0
x0+2
•
y0
x0-2
=
y02
x02-4
=1，
假設存在常數(shù)λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，
則設直線AB的方程為y=k（x+2），直線CD的方程為y=
1
k
（x-2），
y=k（x+2）代入橢圓方程消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2-8=0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），則由韋達定理得x1+x2=-
8k2
2k2+1
，x1x2=
8k2-8
2k2+1

∴|AB|=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
2
(1+k2)
2k2+1
，
同理可得|CD|=
4
2
(1+k2)
k2+2
．
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=
1
|AB|
+
1
|CD|
=
3(k2+1)
4
2
(k2+1)
=
3
2
8
，
∴存在常數(shù)λ=
3
2
8
，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點為F，上頂點為A，過點A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點P、Q，且
AP
=
8
5
PQ
．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l：x+
3
y+3=0相切，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，N為圓C：（x+1）2+y2=16上的一動點，點D（1，0），點M是DN的中點，點P在線段CN上，且
MP
•
DN
=0．
（Ⅰ）求動點P表示的曲線E的方程；
（Ⅱ）若曲線E與x軸的交點為A，B，當動點P與A，B不重合時，設直線PA與PB的斜率分別為k1，k2，證明：k1•k2為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：x2+
y2
2
=1在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為-
2
的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足
OA
+
OB
+
OP
=
0
．
（Ⅰ）證明：點P在C上；
（Ⅱ）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓
x2
4
+
y2
2
=1，過程P（1，1）作直線l，與橢圓交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點，則直線l的斜率為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

直線l過x軸上的點M，l交橢圓
x2
8
+
y2
4
=1于A，B兩點，O是坐標原點．
（1）若M的坐標為（2，0），當OA⊥OB時，求直線l的方程；
（2）若M的坐標為（1，0），設直線l的斜率為k（k≠0），是否存直線l，使得l垂直平分橢圓的一條弦？如果存在，求k的取值范圍；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=
1
2
，一個頂點的坐標為(0，
3
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C的左焦點為F，右頂點為A，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于M，N兩點且
AM
•
AN
=0，試問：是否存在實數(shù)λ，使得S△FMN=λS△AMN成立，若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率．
（1）求橢圓C2的方程；
（2）設O為坐標原點，點A，B分別在橢圓C1和C2上，
OB
=2
OA
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點，M是橢圓短軸的一個端點，過F1的直線l與橢圓交于A，B兩點，△MF1F2的面積為4，△ABF2的周長為8
2

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點Q的坐標為（1，0），是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF1，PF2都相切，如存在，求出P點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

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