【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是菱形,是矩形,平面平面,,,,為的中點.
(1)求證:∥平面;
(2)在線段上是否存在點,使二面角的大小為?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)詳見解析;(2)
【解析】
利用與交于,連接.證明,通過直線與平面平行的判定定理證明平面;
對于存在性問題,可先假設存在,即假設在線段上是否存在點,使二面角的大小為.再通過建立空間直角坐標系,求出相關點的坐標,利用坐標法進行求解判斷.
與交于,連接.
由已知可得四邊形是平行四邊形,
所以是的中點.
因為是的中點,
所以.
又平面,平面,
所以平面.
由于四邊形是菱形,,是的中點,可得.
又四邊形是矩形,面面,
面,
如圖建立空間直角坐標系,
則,0,,,0,,,2,,,,,
,,,,,,
設平面的法向量為,,.
則, ,
令, ,,,
又平面的法向量,0,,
,,解得,
,
在線段上不存在點,使二面角的大小為.
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【題目】已知函數(shù),R.
(1)若函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增,求的值;
(2)求函數(shù)在上的最大值;
(3)當時,若有3個零點,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù).
(1)求實數(shù)的所有取值組成的集合;
(2)試寫出在區(qū)間上的最大值;
(3)設,令,若對任意,總有,求的取值范圍.
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【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若將判斷框內“”改為關于的不等式“”且要求輸出的結果不變,則正整數(shù)的取值是
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
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【題目】對于四面體,有以下命題:①若AB=AC=AD,則AB,AC,AD與底面所成的角相等;②若AB⊥CD,AC⊥BD,則點A在底面BCD內的射影是△BCD的內心;③四面體的四個面中最多有四個直角三角形;④若四面體的6條棱長都為1,則它的內切球的表面積為,其中正確的命題是
A. ①③ B. ③④ C. ①②③ D. ①③④
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【題目】如圖,四棱錐的底面是直角梯形,, ,是的中點,.
(Ⅰ)證明:⊥平面;
(Ⅱ)求二面角的大。
(Ⅲ)線段上是否存在一點,使得直線平面. 若存在,確定點的位置;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,已知、兩個城鎮(zhèn)相距20公里,設是中點,在的中垂線上有一高鐵站,的距離為10公里.為方便居民出行,在線段上任取一點(點與、不重合)建設交通樞紐,從高鐵站鋪設快速路到處,再鋪設快速路分別到、兩處.因地質條件等各種因素,其中快速路造價為1.5百萬元/公里,快速路造價為1百萬元/公里,快速路造價為2百萬元/公里,設,總造價為(單位:百萬元).
(1)求關于的函數(shù)關系式,并指出函數(shù)的定義域;
(2)求總造價的最小值,并求出此時的值.
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【題目】把[0,1]內的均勻隨機數(shù)x分別轉化為[0,2]和內的均勻隨機數(shù)y1,y2,需實施的變換分別為( )
A. , B. ,
C. , D. ,
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