Question

(本小題滿分12分)
已知一四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱底面，且．
（1）求證：平面
（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求二面角的大小．

Answer 1

解：（1）證明：連接，∵是正方形，∴．
∵底面且平面，∴．
又∵，∴平面．          …………6分
（2）解法一：在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作
于，連接，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823185027741420.gif" style="vertical-align:middle;" />，，
所以平面，所以，
所以為二面角的平面角
又，，所以．
在Rt中，
同理，在Rt中，
在中，由余弦定理得．
所以，即二面角的大小為．………………………12分
解法二：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，，，，從而，，，．
設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，，
由法向量的性質(zhì)可得：，， ，，
令，，則，，∴，．
設(shè)二面角的平面角為，則．
∴，即二面角的大小為

略