Question

平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚�(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把平面分成n²－n＋2個(gè)部分．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題，主要是搞清楚當(dāng)n＝k＋1時(shí)比n＝k時(shí)，分點(diǎn)增加了多少，區(qū)域增加了幾塊，本題中第k＋1個(gè)圓被原來(lái)的k個(gè)圓分成2k條弧，而每一條弧把它所在部分分了成兩部分，此時(shí)共增加了2k個(gè)部分，問(wèn)題就得到了解決． 　　證明　　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩部分，12－1＋2＝2，命題成立． 　　(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立(k∈N*)，k個(gè)圓把平面分成k2－k＋2個(gè)部． 　　當(dāng)n＝k＋1時(shí)，這k＋1個(gè)圓中的k個(gè)圓把平面分成了k2－k＋2個(gè)部分，第k＋1個(gè)圓被前k個(gè)圓分成2k條弧，每條弧把它所在的部分分成了兩部分，這時(shí)共增加了2k個(gè)部分，即k＋1個(gè)圓把平面分成： 　　(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2個(gè)部分，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立． 　　由(1)、(2)可知，對(duì)任意n∈N*命題都成立．