O為坐標原點, 和兩點分別在射線 上移動,且,動點P滿足,

記點P的軌跡為C.

(I)求的值;

(II)求P點的軌跡C的方程,并說明它表示怎樣的曲線?

(III)設點G(－1,0),若直線與曲線C交于M、N兩點,且M、N兩點都在以G為圓心的圓上,求的取值范圍.

(I)    

(II) 軌跡C的方程為,它表示焦點在軸上的雙曲線.

 (III)


解析:

(I) ∵,分別在射線上,

即,

又∵      .

,      .

(II) 設由可得

即

兩式相減有: .

∵、不同時為0,   

軌跡C的方程為,它表示焦點在軸上的雙曲線.

(III)

消去,整理得: .

∵直線與曲線C交于M、N兩點,

設

即

由(1)整理得:

由(3)有:

由(2)有.

又∵M、N在以點G為圓心的圓上,

設MN的中點為Q,則

∵,

∵       

又∵

.

整理得

把(6)代入(4)中有:

由

又由(6)有

∵

于是

解得

再由.

綜合得的取值范圍為

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正三角形OAB的三個頂點都在拋物線y2=2x上，其中O為坐標原點，設圓C是OAB的內(nèi)接圓（點C為圓心）
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設圓M的方程為（x-4-7cosθ）2+（y-7cosθ）2=1，過圓M上任意一點P分別作圓C的兩條切線PE，PF，切點為E，F(xiàn)，求
CE
•
CF
的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在矩形ABCD中，以DA所在直線為x軸，以DA中點O為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．已知點B的坐標為（3，2），E、F為AD的兩個三等分點，AC和BF交于點G，△BEG的外接圓為⊙H．
（1）求證：EG⊥BF；
（2）求⊙H的方程；
（3）設點P（0，b），過點P作直線與⊙H交于M，N兩點，若點M恰好是線段PN的中點，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•河北模擬）已知函數(shù)f（x）=ax2+ax和g（x）=x-a，其中a∈R，且a≠0．
（I）若函數(shù)f（x）與g（x）圖象相交于不同的兩點A、B，O為坐標原點，試求△OAB的面積S的最大值；
（II）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的兩正根，且q＜
1a
，證明：當x∈（0，P）時，f（x）＜P-a．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線的兩條漸近線方程為直線l1：y=-
x
2
和l2：y=
x
2
，焦點在y軸上，實軸長為2
3
，O為坐標原點．
（1）求雙曲線方程；
（2）設P1，P2分別是直線l1和l2上的點，點M在雙曲線上，且
P1M
=2
MP2
，求三角形P1OP2的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+
3
和2-
3
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．
（3）如圖，過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P，S，R，Q四點，設原點O到四邊形PQSR一邊的距離為d，試求d=1時a，b滿足的條件．

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