Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，左焦點為F，過原點的直線l交橢圓于M，N兩點，△FMN面積的最大值為1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設P，A，B是橢圓E上異于頂點的三點，Q（m，n）是單位圓x²+y²=1上任一點，使

OP

=m

OA

+n

OB

．
①求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；
②求OA²+OB²的值．

Answer 1

分析：（1）由△FMN面積S=

1

2

×c×|yM-yN|=c|yM|≤cb，可得cb=1，再有離心率公式e=

c

a

=

2

2

及a²=b²+c²即可得到a，b，c；
（2）①設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把點A，B代入橢圓方程可得

x 2 1

2

+

y

2 1

=1③，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1④，又Q（m，n）是單位圓x²+y²=1上任一點可得m²+n²=1⑤，
由

OP

=m

OA

+n

OB

，得到

x=mx1+nx2 y=my1+ny2.

因P在橢圓上，故

(mx1+nx2)2

2

+(my1+ny2)2=1． 把③④⑤代入上式即可得出x₁，y₁，x₂，y₂，滿足的式子即可證明結論；
②利用①的結論kOAkOB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

為定值．可得故

y

2 1

+

y

2 2

=1． 及  又(

x 2 1

2

+

y

2 1

)+(

x 2 2

2

+

y

2 2

)=2，可得

x

2 1

+

x

2 2

=2．故可證明OA²+OB²=

x

2 1

+

y

2 1

+

x

2 2

+

y

2 2

為定值．

解答：解：（1）由橢圓的離心率為

2

2

，得

c

a

=

2

2

①，
又△FMN面積S=

1

2

×c×|yM-yN|=c|yM|≤cb，所以cb=1②，
由①②及a²=b²+c²可解得：a²=2，b²=c²=1，
故橢圓E的方程是

x2

2

+y2=1． 
（2）①設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x 2 1

2

+

y

2 1

=1③，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1④，
又m²+n²=1⑤，
因

OP

=m

OA

+n

OB

，故

x=mx1+nx2 y=my1+ny2.

因P在橢圓上，故

(mx1+nx2)2

2

+(my1+ny2)2=1．      
整理得(

x 2 1

2

+

y

2 1

)m2+(

x 2 2

2

+

y

2 2

)n2+2(

x1x2

2

+y1y2)mn=1．
將③④⑤代入上式，并注意點Q（m，n）的任意性，得：

x1x2

2

+y1y2=0．
所以，kOAkOB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

為定值．
②(y1y2)2=(-

x1x2

2

)2=

x 2 1

2

•

x 2 2

2

=(1-

y

2 1

)(1-

y

2 2

)=1-(

y

2 1

+

y

2 2

)+

y

2 1

y

2 2

，
故

y

2 1

+

y

2 2

=1．                 
又(

x 2 1

2

+

y

2 1

)+(

x 2 2

2

+

y

2 2

)=2，故

x

2 1

+

x

2 2

=2．所以OA²+OB²=

x

2 1

+

y

2 1

+

x

2 2

+

y

2 2

=3．

點評：本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關系、向量運算、斜率的計算公式、三角形的面積計算公式等基礎知識，需要較強運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結合、化歸與轉(zhuǎn)化思想．