Question

【題目】將平面上每個(gè)點(diǎn)染為種顏色之一，同時(shí)滿足：

（1）每種顏色的點(diǎn)都有無窮多個(gè)，且不全在同一條直線上；

（2）至少有一條直線上所有的點(diǎn)恰為兩種顏色．

求的最小值，使得存在互不同色的四個(gè)點(diǎn)共圓．

Answer 1

【答案】5

【解析】

由已知．

若，在平面上取一定圓及上面三點(diǎn)、、，將弧（含點(diǎn)不含）、弧（含點(diǎn)不含）、弧（含點(diǎn)不含）分別染為1、2、3色，平面上其他點(diǎn)染為4色，則滿足題意且不存在四個(gè)互不同色的點(diǎn)共圓．

所以，．

當(dāng)時(shí)，假設(shè)不存在四個(gè)互不同色的點(diǎn)共圓．由條件（2）知，存在直線上恰有兩種顏色的點(diǎn)（設(shè)上僅有顏色1、2的點(diǎn)），再由條件（1）知，存在顏色分別為3、4、5的點(diǎn)、、不共線，設(shè)過、、的圓為（如圖）．

若與有公共點(diǎn)，則存在四個(gè)互不同色的點(diǎn)共圓，矛盾．

若與相離，則過點(diǎn)作的垂線與交于點(diǎn)．

設(shè)的顏色為1，垂線與交于點(diǎn)、，如圖3．

設(shè)的顏色為3．考慮上顏色為2的點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

因?yàn)?/span>，所以，、、、四點(diǎn)共圓．則只能為3色．

又、必有一點(diǎn)不同于（設(shè)為），與交于點(diǎn)．

因?yàn)?/span>，所以，、、、四點(diǎn)共圓．則只能為1色．

故．

從而，、、、四點(diǎn)共圓，且互不同色，矛盾．

所以，當(dāng)時(shí)，存在四個(gè)互不同色的點(diǎn)共圓．

因此，的最小值是5．