Question

已知向量

x

=（1，t²-3 ），

y

=（-k，t） （其中實(shí)數(shù)k和t不同時(shí)為零），當(dāng)|t|＜2時(shí)，有

x

⊥

y

，當(dāng)|t|＞2時(shí)，有

x

∥

y

．
（1）求函數(shù)關(guān)系式k=f （t ）；
（2）求函數(shù)f （t ）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）求函數(shù)f （t ）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量垂直的充要條件及向量共線的充要條件列出關(guān)于k，t的方程，分離出k即為函數(shù)關(guān)系式k=f （t ）；
（2）分段求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)小于0的x的范圍，寫出區(qū)間形式即得到函數(shù)f （t ）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）利用（2）求出函數(shù)的極值．再求出區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值，選出最值．

解答：解：（1）當(dāng)|t|＜2時(shí)，由

x

⊥

y

得：

x

•

y

=-k+（t²-3）t=0，
得k=f（t）=t³-3t（|t|＜2）
當(dāng)|t|＞2時(shí)，由

x

∥

y

得：k=

-t

t2-3

所以k=f（t）=

t3-3t當(dāng)-2≤t≤2時(shí) t 3-t2 當(dāng)t＜-2或t＞2時(shí)

（5分）
（2）當(dāng)|t|＜2時(shí)，f′（t）=3t²-3，由f′（t）＜0，得3t²-3＜0
解得-1＜t＜1，
當(dāng)|t|＞2時(shí)，f′（t）=

(3-t2)-t(-2t)

(3-t2)2

=

3+t2

(3-t2)2

＞0
∴函數(shù)f（t）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，1）．（4分）
（3）當(dāng)|t|＜2時(shí)，由f′（t）=3t²-3=0得t=1或t=-1
∵1＜|t|＜2時(shí)，f′（t）＞0
∴f（t）_極大值=f（-1）=2，f（t）_極小值=f（1）=-2
又f（2）=8-6=2，f（-2）=-8+6=-2
當(dāng)t＞2時(shí)，f（t）=

-t

t2-3

＜0，
又由f′（t）＞0知f（t）單調(diào)遞增，∴f（t）＞f（2）=-2，
即當(dāng)t＞2時(shí)，-2＜f（t）＜0，
同理可求，當(dāng)t＜-2時(shí)，有0＜f（t）＜2，
綜合上述得，當(dāng)t=-1或t=2時(shí)，f（t）取最大值2
當(dāng)t=1或t=-2時(shí)，f（t）取最小值-2（5分）

點(diǎn)評(píng)：求分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值、最值應(yīng)該分段求，再選出最值．