如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD內，過C作l⊥CB，以l為軸將梯形ABCD旋轉一周，求所得旋轉體的表面積及體積．

解：由題意，線段AB旋轉一周形成圓柱的側面，線段CB旋轉一周形成圓C，CD旋轉一周形成圓錐的側面，線段AD旋轉一周形成一個圓環(huán)，
∵∠DCB=60°，∴圓錐的底面半徑為r=a，母線l=2a，高為a
∴旋轉體的表面積S=S圓柱側+S圓C+S圓錐側+S圓環(huán)=2π•2a•a+π•（2a）2+π•a•2a+π[（2a）2-a2]=…（7分）
該旋轉體的體積是經(jīng)AB為母線的圓柱體積減去以CD為母線的圓錐的體積，即
V=π•（2a）2•a-π•a2•a=…（14分）
分析：根據(jù)該旋轉體的外形分析其結構可得，它是在一個底面半徑為2a、高為的圓柱中挖去一個底面半徑為a、高為的圓錐，由此不難請計算出它的表面積和體積．
點評：本題給出一個特殊的旋轉體，要我們求的表面積與體積，著重考查了圓柱、圓錐的側面積和體積等公式，屬于基礎題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD內，過C作l⊥CB，以l為軸將梯形ABCD旋轉一周，求所得旋轉體的表面積及體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省溫州市溫州中學2012屆高三第三次模擬考試數(shù)學試題 題型：044

如圖，已知平面ABC⊥平面BCDE，△DEF與△ABC分別是棱長為1與2的正三角形，AC∥DF，四邊形BCDE為直角梯形，DE∥BC，BC⊥CD，CD＝1，點G為△ABC的重心，N為AB中點，＝λ(λ∈R，λ＞0)．

(Ⅰ)當時，求證：GM∥平面DFN．

(Ⅱ)若直線MN與CD所成角為，試求二面角M－BC－D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年江蘇省南京市高三第二次模擬考試數(shù)學卷 題型：解答題

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10，共計20分。請在答題卡指定區(qū)域作答。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

A、選修4-1：幾何證明選講

   如圖，已知梯形ABCD為圓內接四邊形，AD//BC，過C作該圓的切線，交AD的延長線于E，求證：ΔABC∽ΔEDC。

B、選修4-2：矩形與變換

已知 為矩陣屬于λ的一個特征向量，求實數(shù)a，λ的值及A2。

C、選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

   在平面直角坐標系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線D的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）。若曲線C、D有公共點，求實數(shù)m的取值范圍。

D、選修4-5：不等式選講

   已知a，b都是正實數(shù)，且ab=2。求證：（1+2a）（1+b）≥9。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：0110 期末題 題型：解答題

如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD內，過C作l⊥CB，以l為軸將梯形ABCD旋轉一周，求所得旋轉體的表面積及體積。

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