設f(x)=log
1
2
x+1
x-1
+log
1
2
(x-1)+log
1
2
(3-x)
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）f（x）是否存在最大值或最小值？如果存在，請把它求出來；如果不存在，請說明理由．
分析：（1）由函數(shù)f（x）的解析式可得
x+1
x-1
＞0
x-1＞0
3-x＞0
，解得 1＜x＜3，由此可得函數(shù)的定義域．
（2）由于 f（x）=log
1
2
(x+1)(3-x)=log
1
2
[-(x-1)2+4]．令t=（x+1）（3-x）＞0，則f（x）=log
1
2
t．由于函數(shù)t有最大值為4，而沒有最小的正值，故函數(shù)f（x）有最小值為log
1
2
4，而沒有最大值．
解答：解：（1）由于f(x)=log
1
2
x+1
x-1
+log
1
2
(x-1)+log
1
2
(3-x)，
可得
x+1
x-1
＞0
x-1＞0
3-x＞0
，解得 1＜x＜3，
故函數(shù)的定義域為（1，3）．
（2）由于f(x)=log
1
2
x+1
x-1
+log
1
2
(x-1)+log
1
2
(3-x)=log
1
2
(x+1)(3-x)
=log
1
2
[-(x-1)2+4]．
令t=（x+1）（3-x）＞0，則f（x）=g（t）=log
1
2
t．
由于函數(shù)t有最大值為4，而沒有最小的正值，故函數(shù)f（x）有最小值為log
1
2
4=-2，而沒有最大值．
點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質綜合應用，復合函數(shù)的單調性，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義y=log1+xf（x，y），f（x，y）=（1+x）y（x＞0，y＞0）
（1）比較f（1，3）與f（2，2）的大小；
（2）若e＜x＜y，證明：f（x-1，y）＞f（y-1，x）；
（3）設g（x）=f（1，log2（x3+ax2+bx+1））的圖象為曲線C，曲線C在x0處的切線斜率為k，若x0∈（1，1-a），且存在實數(shù)b，使得k=-4，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=
log
1-mx
x-1
a
為奇函數(shù)，g（x）=f（x）+loga（x-1）（ax+1）（ a＞1，且m≠1）．
（1）求m值；
（2）求g（x）的定義域；
（3）若g（x）在[-
5
2
，-
3
2
]上恒正，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=
2x+a
1+2x
（a∈R）是R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若m∈R+，且滿足log
1+x
1-x
＞log3
1+x
m
，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

定義y=log1+xf（x，y），f（x，y）=（1+x）y（x＞0，y＞0）
（1）比較f（1，3）與f（2，2）的大小；
（2）若e＜x＜y，證明：f（x-1，y）＞f（y-1，x）；
（3）設g（x）=f（1，log2（x3+ax2+bx+1））的圖象為曲線C，曲線C在x0處的切線斜率為k，若x0∈（1，1-a），且存在實數(shù)b，使得k=-4，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年高三作業(yè)檢測數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

定義y=log1+xf（x，y），f（x，y）=（1+x）y（x＞0，y＞0）
（1）比較f（1，3）與f（2，2）的大小；
（2）若e＜x＜y，證明：f（x-1，y）＞f（y-1，x）；
（3）設g（x）=f（1，log2（x3+ax2+bx+1））的圖象為曲線C，曲線C在x處的切線斜率為k，若x∈（1，1-a），且存在實數(shù)b，使得k=-4，求實數(shù)a的取值范圍．

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