已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；　
（2）若f（x）≤0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）證明：數(shù)學公式（n＞1，n∈N*）

（1）解：f（x）的定義域為（1，+∞），，
當k≤0時，＞0，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（1，+∞），
當k＞0時，由＞0，得：，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為，
由＜0，得：x＞，函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為；
（2）由f（x）≤0，即ln（x-1）-k（x-1）+1＜0得，，
令，則，
∴當x∈（1，2）時，y′＞0，函數(shù)遞增；當x∈（2，+∞）時，y′＜0，函數(shù)遞減．∴當x=2時函數(shù)取得最大值為1，∴k≥1；
（3）由（1）可知若k=1，當x∈（2，+∞）時有f（x）＜0，∴l(xiāng)n（x-1）-（x-1）+1＜0，
即ln（x-1）＜x-2，即有l(wèi)nx＜x-1（x＞1），
令x=n，則lnn＜n-1，
∴l(xiāng)n2+ln3+…+lnn＜（2-1）+（3-1）+…+（n-1）=（2+3+…+n）-（n-1）
==（n＞1，n∈N*）．
分析：（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，然后分k≤0和k＞0討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）把函數(shù)f（x）的解析式代入f（x）≤0，變形后把變量k分離出來，得到，然后利用導函數(shù)求不等式右邊的最大值，則實數(shù)k的取值范圍可求；
（3）由（1）可知，若k=1，當x∈（2，+∞）時有f（x）＜0，由此得到lnx＜x-1（x＞1），依次取x的值為2，3，…，n，累加后利用分組求和可證不等式．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，訓練了分離變量法，（3）中不等式的證明是該題的難點所在，考查了學生靈活處理問題和解決問題的能力，此題是有一定難度題目．
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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