已知函數(shù)f(x)=x3-2x,其中a-1≤x≤a+1,a∈R,設(shè)集合M={(m,f(n))|m,n∈[a-1,a+1]|},若f(x)單調(diào)遞增,則S的最小值為
 
分析:先研究函數(shù)的性質(zhì),是奇函數(shù)且x>
2
3
=
6
3
時(shí),f(x)單調(diào)遞增.再將面積表達(dá)出來(lái),進(jìn)而可求出S的最小值.
解答:精英家教網(wǎng)解:f(x)=x3-2x=x(x2-2)=0∴x=-
2
或0或
2

∵f(-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).
?0<x1<x2f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22-2)>(x1-x2)(3x12-2)
當(dāng)x>
2
3
=
6
3
時(shí),f(x1)-f(x2)>0,f(x)單調(diào)遞增.
由對(duì)稱性畫出草圖n∈[a-1,a+1]
1<
2
6
3
<2

∴m∈[a-1,a+1],f(n)為n∈[a-1,a+1]時(shí)的值域的長(zhǎng)度d.要使f(n)的值域最小當(dāng)a-1<-
6
3
6
3
<a+1
時(shí)f(n)的值域最小,則d=f(-
6
3
)-f(
6
3
)=
8
9
6
S=2d=
16
9
6

故答案為
16
9
6
點(diǎn)評(píng):本題求解的關(guān)鍵是利用具體函數(shù),研究出函數(shù)所具有的性質(zhì),進(jìn)而研究面積S的最小值
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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