Question

【題目】已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，，是橢圓上的兩個(gè)相異動(dòng)點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則到直線(xiàn)距離的最小值為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

分直線(xiàn)的斜率存在和不存在兩種情況討論，由于同一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性設(shè)斜率大于0，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和，再由的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出參數(shù)之間的關(guān)系，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出到直線(xiàn) 距離．令參數(shù)部分為函數(shù)，求導(dǎo)，由函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，進(jìn)而求出到直線(xiàn)的最小值．

解：由題意的方程可得：，

若直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，

則由題意可得的方程為：，

這時(shí)到直線(xiàn)的距離為2，

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在且不會(huì)為0時(shí)，

由題意的對(duì)稱(chēng)性設(shè)，

設(shè)方程為，，，，，

聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程可得：，

整理可得：，

△，

即，，，

因?yàn)?/span>中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，

所以，

即

所以到直線(xiàn)的距離

令，，

，

當(dāng)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)，，單調(diào)遞減，

所以時(shí)最大，

且，

所以，

故答案為：．