Question

【題目】設P1 ， P2 ， …Pn為平面α內(nèi)的n個點，在平面α內(nèi)的所有點中，若點P到點P1 ， P2 ， …Pn的距離之和最小，則稱點P為P1 ， P2 ， …Pn的一個“中位點”，例如，線段AB上的任意點都是端點A，B的中位點，現(xiàn)有下列命題：
①若三個點A、B、C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點；
②直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點；
③若四個點A、B、C、D共線，則它們的中位點存在且唯一；
④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．
其中的真命題是（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：①若三個點A、B、C共線，若C在線段AB上，則線段AB上任一點都為“中位點”，C也不例外，則C是A，B，C的中位點，①正確；
②舉一個反例，如邊長為3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜邊的中點到三個頂點的距離之和為5+2.5=7.5，而直角頂點到三個頂點的距離之和為7，所以直角三角形斜邊的中點不是該直角三角形三個頂點的中位點，故②錯誤；
③若四個點A、B、C、D共線，則它們的中位點是中間兩點連線段上的任意一個點，故它們的中位點存在但不唯一，故③錯誤；
④如圖，在梯形ABCD中，對角線的交點O，P是任意一點，則根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得
PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，所以梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點，故④正確．
所以答案是：①④．

【考點精析】通過靈活運用命題的真假判斷與應用，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系即可以解答此題．