【題目】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

(1)(0,5)(0,-5)為焦點,且橢圓上一點P到兩焦點的距離之和為26

(2)以橢圓9x25y245的焦點為焦點,且經(jīng)過M(2 )

【答案】(1);(2).

【解析】試題分析:(1)由焦點坐標(biāo)可以求得c,再由橢圓定義可知2a,即得橢圓方程;

2)根據(jù)題意先求得焦點坐標(biāo),再設(shè)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (ab>0),將題中點代入,根據(jù)b2a2c2可得橢圓方程.

試題解析:

(1)∵橢圓的焦點在y軸上,

∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>b>0).

∵2a=26,2c=10,∴a=13,c=5.

b2a2c2=144.

∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

(2)法一:由9x2+5y2=45,

=1,c2=9-5=4,

所以其焦點坐標(biāo)為F1(0,2),F2(0,-2).

設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(ab>0).

由點M(2,)在橢圓上,所以MF1MF2=2a,

即2a=4

所以a=2,

c=2,所以b2a2c2=8,

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

法二:由法一知,橢圓9x2+5y2=45的焦點坐標(biāo)為F1(0,2),F2(0,-2),

則設(shè)所求橢圓方程為=1(λ>0),

M(2,)代入,得=1(λ>0),

解得λ=8或λ=-2(舍去).

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

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