已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
12
,橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形周長(zhǎng)等于8,
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)(0,-2)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn),求直線l的方程.
分析:(Ⅰ)設(shè)出橢圓方程標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)離心率可求得a和c的關(guān)系,根據(jù)橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形周長(zhǎng)等于8,求得a,則c可求得,進(jìn)而根據(jù)b2=a2-c2求得b,則橢圓方程可得.
(Ⅱ)先看當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),顯然以A,B為直徑的圓不過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn),故直線l與x軸不垂直;設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y,根據(jù)判別式求得k的范圍,設(shè)出A,B的坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2和x1x2的表達(dá)式,進(jìn)而根據(jù)直線方程求得y1y2的表達(dá)式,以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)D(2,0),進(jìn)而可知直線AD和BD的斜率之積為-1,進(jìn)而用A,B的坐標(biāo)分別表示出這兩直線的斜率,建立等式求得k,最后驗(yàn)證求得結(jié)果.
解答:解:(Ⅰ)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

由題意得:
c
a
=
1
2
,4a=8

∴a=2,c=1,b2=a2-c2=3
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),A,B分別為橢圓短軸的兩端點(diǎn),
顯然以A,B為直徑的圓不過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn),故直線l與x軸不垂直
設(shè)直線l的方程為y=kx-2
則由
x2
4
+
y2
3
=1
y=kx-2
得(3+4k2)x2-16kx+4=0
由△>0得k>
1
2
k<-
1
2

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=
16k
3+4k2
,x1x2=
4
3+4k2

y1y2=(kx1-2)(kx2-2)=k2x1x2-2k(x1+x2)+4=
12-12k2
3+4k2

因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)D(2,0),
∴KADKBD=-1,即
y1
x1-2
y2
x2-2
=-1

∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0
12-12k2
3+4k2
+
4
3+4k2
-
32k
3+4k2
+4=0
,即k2-8k+7=0,
解得k1=1,k2=7
當(dāng)k=1時(shí),直線l過(guò)橢圓右頂點(diǎn)(2,0),不合題意,
所以k=7,故直線l的方程是y=7x-2.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題是支撐圓錐曲線知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容,問(wèn)題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等,而不同的解題途徑其運(yùn)算量繁簡(jiǎn)差別很大,故此類問(wèn)題能有效地考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C任意一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-
3
,0)
F2(
3
,0)
的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)過(guò)(0,-2)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),且
OA
OB
=0
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,點(diǎn)P(1,
32
)在橢圓C上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)如圖,動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)M,N是直線l上的兩點(diǎn),且F1M⊥l,F(xiàn)2M⊥l,求四邊形F1MNF2面積S的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上且過(guò)點(diǎn)P(
3
,
1
2
)
,離心率是
3
2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線l過(guò)點(diǎn)E(-1,0)且與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),若|EA|=2|EB|,求直線l的方程.

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(2013•和平區(qū)一模)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
1
2
,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y=
3
12
x2的焦點(diǎn).
(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)若A、B是橢圓C上關(guān)x軸對(duì)稱的任意兩點(diǎn),設(shè)P(-4,0),連接PA交橢圓C于另一點(diǎn)E,求證:直線BE與x軸相交于定點(diǎn)M;
(III)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),在(II)的條件下,過(guò)點(diǎn)M的直線交橢圓C于S、T兩點(diǎn),求
OS
OT
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),它的一條準(zhǔn)線為x=-
5
2
,離心率為
2
5
5

(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn),交y軸于M點(diǎn),若
MA
=λ1
AF
, 
MB
=λ2
BF
,求λ12的值.

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