Question

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)到短軸的端點(diǎn)的距離為，離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸的直線，交直線于點(diǎn)，求證：直線恒過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由題意可得，由離心率公式可得，再由的關(guān)系可得，即可得到所求的橢圓方程；

（2）先求出直線的斜率不存在時(shí)直線的方程，直線過點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直線的斜率公式，結(jié)合三點(diǎn)共線的條件，即可得到定點(diǎn)且定點(diǎn)為．

（1）由橢圓的焦點(diǎn)到短軸的端點(diǎn)的距離為，則，

又離心率為，即，解得，∴，

∴橢圓的方程為.

（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在，即方程，

代入橢圓方程可得，即有，

直線的方程為，直線過點(diǎn).

當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，

由，消去整理得．

由恒成立，

設(shè)，

則①，②，

，

由，

由①②可得，

則，即

綜上可得直線過定點(diǎn)．