Question

已知函數：f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（I）討論函數f（x）的單調性；
（II）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45o，是否存在實數m使得對于任意的t∈[1，2]，函數g（x）=x³+x²[f′(x)+

m

2

]在區(qū)間（t，3）上總不是單調函數？若存在，求m的取值范圍；否則，說明理由；
（Ⅲ）求證：

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×

ln5

5

×…×

lnn

n

＜

1

n

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）在求單調區(qū)間時要注意函數的定義域以及對參數a的討論情況；
（II）點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，即切線斜率為1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調函數可知：g′（1）＜0，g′（2）＜0，g′（3）＞0，于是可求m的范圍．
（Ⅲ）判斷l(xiāng)nx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，進而可得0＜

lnn

n

＜

n-1

n

，即可證得結論．

解答：（I）解：f′(x)=

a(1-x)

x

(x＞0)  （1分），
當a＞0時，f（x）的單調增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；
當a＜0時，f（x）的單調增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；
當a=0時，f（x）不是單調函數（4分）
（II）解：f′（2）=-

a

2

=1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3
∴g（x）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2（6分）
∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調函數，且g′（0）=-2
∴g′（t）＜0，g′（3）＞0   （8分）
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，∴存在-

37

3

＜m＜-9（10分）
（Ⅲ）證明：令a=-1此時f（x）=-lnx+x-3，所以f（1）=-2，
由（I）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上單調遞增，
∴當x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴l(xiāng)nx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N^*，則有0＜lnn＜n-1，
∴0＜

lnn

n

＜

n-1

n

∴

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×

ln5

5

×…×

lnn

n

＜

1

2

×

2

3

×

3

4

×

4

5

×…×

n-1

n

＜

1

n

（n≥2，n∈N^*）．…（14分）

點評：本題考查利用函數的導數來求函數的單調區(qū)間，與函數結合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結論構造函數，利用函數的單調性，對于函數取單調區(qū)間上的正整數自變量n有某些結論成立，進而解答出這類不等式問題的解．