(2013•烏魯木齊一模)選修4-5:不等式選講
設(shè)函數(shù),f(x)=|x-1|+|x-2|.
(I)求證f(x)≥1;
(II)若f(x)=
a2+2
a2+1
成立,求x的取值范圍.
分析:(I)利用絕對值不等式即可證得f(x)≥1;
(II)利用基本不等式可求得
a2+2
a2+1
≥2,要使f(x)=
a2+2
a2+1
成立,需且只需|x-1|+|x-2|≥2即可.
解答:解:(Ⅰ)證明:由絕對值不等式得:
f(x)=|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1  …(5分)
(Ⅱ)∵
a2+2
a2+1
=
a2+1+1
a2+1
=
a2+1
+
1
a2+1
≥2,
∴要使f(x)=
a2+2
a2+1
成立,需且只需|x-1|+|x-2|≥2,
x<1
1-x+2-x≥2
,或
1≤x<2
x-1+2-x≥2
,或
x≥2
x-1+x-2≥2
,
解得x≤
1
2
,或x≥
5
2

故x的取值范圍是(-∞,
1
2
]∪[
5
2
,+∞).…(10分)
點評:本題考查帶絕對值的函數(shù),考查基本不等式的應(yīng)用與絕對值不等式的解法,求得
a2+2
a2+1
≥2是關(guān)鍵,屬于中檔題.
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y
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68
68

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