Question

已知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)G與F₂關(guān)于直線l：x-2y+4=0對(duì)稱，且GF₁與l的交點(diǎn)P在橢圓上．
（I）求橢圓方程；
（II）若P、M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是橢圓上的不同三點(diǎn)，直線PM、PN的傾斜角互補(bǔ)，問直線MN的斜率是否是定值？如果是，求出該定值，如果不是，說明理由．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)點(diǎn)G與F₂關(guān)于直線l：x-2y+4=0對(duì)稱求出點(diǎn)G（-1，4），再結(jié)合GF₁與l的交點(diǎn)P在橢圓上得到2a=|PF₁|+|PF₂|=|GF₁|=4，進(jìn)而求出橢圓方程；
（II）先求出點(diǎn)P（-1，

3

2

），直線PM的方程為y=k（x+1）+

3

2

，橢圓方程與直線PM方程聯(lián)立求出M（x₁，y₁）的橫坐標(biāo)與斜率的關(guān)系，同樣求出N（x₂，y₂）的橫坐標(biāo)與斜率的關(guān)系；再根據(jù)M，N在直線PM、PN上，求出其縱坐標(biāo)，即可得到直線MN的斜率，進(jìn)而說明結(jié)論．

解答：解：（I）F₂（1，0）關(guān)于直線L：x-2y+4=0對(duì)稱點(diǎn)G（-1，4）
又GF₁與l的交點(diǎn)P在橢圓上，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=|GF₁|=4．
∴b²=a²-c²=3．
因此，所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（II）由條件知直線PM，PN的斜率存在且不為0，
易得點(diǎn)P（-1，

3

2

），設(shè)直線PM的方程為y=k（x+1）+

3

2

，
由橢圓方程與直線PM方程聯(lián)立消去y，
整理得（4k²+3）x²+4k（2k+3）x+4k²+12k-3=0，
∵P在橢圓上，∴方程兩根為1，x₁，
∴1•x1=-

4k2+12k-3

4k2+3

，x1=-

4k2+12k-3

4k2+3

，
∵直線PM，PN的傾斜角互補(bǔ)，
∴直線PM，PN的斜率互為相反數(shù)，
∴x2= -

4k2-12k-3

4k2+3

．
則x1-x2=

-24k

4k2+3

，x1+x2=

6-8k2

4k2+3

．
又y1=k(x1+1)+

3

2

，y2=-k(x2+1)+

3

2

，
∴y₁-y₂=k（x₁+x₂+2）=

12k

4k2+3

．
∴直線MN的斜率KMN=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

（定值）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱問題．解決問題的關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．