【題目】函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(2)若,這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)b=(a>3);(2)(3,6]
【解析】
(1)求導(dǎo)得到g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,計(jì)算函數(shù)單調(diào)性,故f(﹣)=0,計(jì)算得到b=,再計(jì)算a>3得到答案.
(2)f′(x)的極小值為f′(﹣)=b﹣,設(shè)x1,x2是y=f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),則x1+x2=,x1x2=,f(x1)+f(x2)=﹣+2,得到所以b﹣+﹣+2≥﹣,解得答案.
(1)因?yàn)?/span>f(x)=x3+ax2+bx+1,所以g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,
g′(x)=6x+2a,令g′(x)=0,解得x=﹣.
由于當(dāng)x>﹣時(shí)g′(x)>0,g(x)=f′(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x<﹣時(shí)g′(x)<0,g(x)=f′(x)單調(diào)遞減;
所以f′(x)的極小值點(diǎn)為x=﹣,由于導(dǎo)函數(shù)f′(x)的極值點(diǎn)是原函數(shù)f(x)的零點(diǎn),
所以f(﹣)=0,即﹣﹣+1=0,所以b=(a>0).
因?yàn)?/span>f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有極值,所以f′(x)=3x2+2ax+b=0有實(shí)根,
所以4a2﹣12b>0,即a2﹣﹣>0,解得a>3,所以b=(a>3).
(2)f′(x)的極小值為f′(﹣)=b﹣,
設(shè)x1,x2是y=f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),則x1+x2=,x1x2=,
所以f(x1)+f(x2)=++a(+)+b(x1+x2)+2
=(x1+x2)[(x1+x2)2﹣3x1x2]+a[(x1+x2)2﹣2x1x2]+b(x1+x2)+2=﹣+2,
又因?yàn)?/span>f(x),f′(x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于﹣,
所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因?yàn)?/span>a>3,所以2a3﹣63a﹣54≤0,
所以2a(a2﹣36)+9(a﹣6)≤0,所以(a﹣6)(2a2+12a+9)≤0,
由于a>3時(shí)2a2+12a+9>0,所以a﹣6≤0,解得a≤6,所以a的取值范圍是(3,6].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(Consumer Price Index,簡(jiǎn)稱),是度量居民生活消費(fèi)品和服務(wù)價(jià)格水平隨著時(shí)間變動(dòng)的相對(duì)數(shù),綜合反映居民購(gòu)買的生活消費(fèi)品和服務(wù)價(jià)格水平的變動(dòng)情況.如圖為國(guó)家統(tǒng)計(jì)局于2020年4月公布的2019年3月至2020年3月數(shù)據(jù)同比和環(huán)比漲跌幅折線圖:
(注:同比,同比漲跌幅,環(huán)比,環(huán)比漲跌幅),則下列說(shuō)法正確的是( )
A.2019年12月與2018年12月相等
B.2020年3月比2019年3月上漲4.3%
C.2019年7月至2019年11月持續(xù)增長(zhǎng)
D.2020年1月至2020年3月持續(xù)下降
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)若,求曲線的直角坐標(biāo)方程以及直線的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn),曲線與直線交于兩點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A.命題“”的否定是“”
B.命題“已知,若則或”是真命題
C.命題“若則函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)”的逆命題為真命題
D.“在上恒成立”在上恒成立
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體中,垂直于梯形所在的平面,為的中點(diǎn),,四邊形為矩形,線段交于點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在線段上是否存在一點(diǎn),使得與平面所成角的大小為?若存在,求出的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲,乙兩人進(jìn)行射擊比賽,各射擊局,每局射擊次,射擊中目標(biāo)得分,未命中目標(biāo)得分,兩人局的得分情況如下:
甲 | ||||
乙 |
(1)若從甲的局比賽中,隨機(jī)選取局,求這局的得分恰好相等的概率;
(2)從甲,乙兩人的局比賽中隨機(jī)各選取局,記這局的得分和為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)且時(shí),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)任意正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am,則稱數(shù)列{an}為S數(shù)列.
(1)S數(shù)列的任意一項(xiàng)是否可以寫成其某兩項(xiàng)的差?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)①是否存在等差數(shù)列為S數(shù)列,若存在,請(qǐng)舉例說(shuō)明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
②是否存在正項(xiàng)遞增等比數(shù)列為S數(shù)列,若存在,請(qǐng)舉例說(shuō)明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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