Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)存在最小值，且最小值大于，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使得，求證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增。

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)詳見解析

【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，從而確定a的范圍即可；

（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），得到f（x1）＞f（2a﹣x1），結(jié)合f（x1）＝f（x2），從而證明結(jié)論．

（Ⅰ）f′（x），

①a≤0時(shí)，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，

∴f（x）在（0，+∞）遞增，故無最小值；

②a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，解得：x＞a，

由f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，

故f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，

此時(shí)f（x）有最小值，且f（x）min＝a（1﹣a﹣lna），

令g（a）＝1﹣a﹣lna（a＞0），

則g（a）在（0，+∞）遞減，又g（1）＝0，

∴0＜a＜1時(shí)，g（a）＞0，此時(shí)f（x）min＞0，

a≥1時(shí)，g（a）≤0，此時(shí)f（x）min≤0，

故a的范圍是（0，1）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，要存在實(shí)數(shù)x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），則a＞0，

∵f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，

不妨設(shè)0＜x1＜x2，則0＜x1＜a，

令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），

則h′（x），

∴x∈（0，a）時(shí)，h′（x）＜0，

∴h（x）在（0，a）遞減，

∵x1∈（0，a），∴h（x1）＞h（a）＝f（a）﹣f（a）＝0，

即f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，

∴f（x1）＞f（2a﹣x1），

∵f（x1）＝f（x2），

∴f（x2）＞f（2a﹣x1），

∵0＜x1＜a，∴2a﹣x1＞a，

∵f（x）在（a，+∞）遞增，

∴x2＞2a﹣x1，∴a，

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[，+∞）遞增，

∵x1≠x2，∴，

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[，+∞）上單調(diào)遞增．