Question

已知O是線段AB外一點，若，．
（1）設(shè)點A₁、A₂是線段AB的三等分點，△OAA₁、△OA₁A₂及△OA₂B的重心依次為G₁、G₂、G₃，試用向量、表示；
（2）如果在線段AB上有若干個等分點，你能得到什么結(jié)論？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）如圖：點A₁、A₂是線段AB的三等分點，\overrightarrow{OG_{1}}=2/3[1/2(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA_{1}})]=1/3(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA_{1}})，同理可得：\overrightarrow{OG_{2}}=1/3(\overrightarrow{OA _{1}}+\overrightarrow{OA_{2}})，\overrightarrow{OG_{3}}=1/3(\overrightarrow{OA_{2}}+\overrightarrow{OB})，則\overrightarrow{OG_{1}}+\overrightarrow{OG_{2}}+\overrightarrow{OG_{3}}=1/3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)+2/3(\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}})=1/3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)+2/3[\overrightarrow{a}+1/3(\overrightarrow-\overrightarrow{a})+\overrightarrow{a}+2/3(\overrightarrow-\overrightarrow{a})]=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)（2）層次1：設(shè)A₁是AB的二等分點，則OA_{1}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow/2；\overrightarrow{OG_{1}}+\overrightarrow{OG_{2}}=2/3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)；設(shè)A₁、A₂、A₃是AB的四等分點，則\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}}+\overrightarrow{OA_{3}}=3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)/2；或設(shè)A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分點，則\overrightarrow{OA_{k}}+\overrightarrow{OA_{n-k}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}，層次2：設(shè)A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分點，\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}}+\overrightarrow{OA_{3}}++\overrightarrow{OA_{n-2}}+\overrightarrow{OA_{n-1}}=n(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)/2，層次3：設(shè)A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分點，則\overrightarrow{OG_{1}}+\overrightarrow{OG_{2}}+\overrightarrow{OG_{3}}++\overrightarrow{OG_{n-2}}+\overrightarrow{OG_{n-1}}=n(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)/3；證：\overrightarrow{OG_{1}}+\overrightarrow{OG_{2}}++\overrightarrow{OG_{n-1}}=1/3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)+2/3(\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}}++\overrightarrow{OA_{n-1}})=1/3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)+2/3[\overrightarrow{a}+1/n(\overrightarrow-\overrightarrow{a})+\overrightarrow{a}+2/n(\overrightarrow-\overrightarrow{a})++\overrightarrow{a}+n-1/n(\overrightarrow-\overrightarrow{a})]=1/3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)+2/3[(n-1)\overrightarrow{a}+(1/n+2/n++n-1/n)\overrightarrow-(1/n+2/n++n-1/n)\overrightarrow{a}]=1/3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)+2/3•(n-1)/2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)=n/3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)