Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線(xiàn)與以點(diǎn)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）若Q是雙曲線(xiàn)C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為雙曲線(xiàn)C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F₁引∠F₁QF₂的平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程；
（3）設(shè)直線(xiàn)y=mx+1與雙曲線(xiàn)C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線(xiàn)L經(jīng)過(guò)M（-2，0）及AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)L在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=kx，根據(jù)題意可得k=±1，所以雙曲線(xiàn)C的方程為 ，C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，可得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而求出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）若Q在雙曲線(xiàn)的右支上，則延長(zhǎng)QF₂到T，使|QT|=|OF₁|；若Q在雙曲線(xiàn)的左支上，則在QF₂上取一點(diǎn)T，
使|QT|=|QF₁|，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義|TF₂|=2，再利用相關(guān)點(diǎn)代入法求出軌跡方程即可．
（3）直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)聯(lián)立，進(jìn)而可構(gòu)造f（x）=（1-m²）x²-2mx-2，從而直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程 f（x）=0在（-∞，0）上有兩個(gè)不等實(shí)根，根據(jù)AB的中點(diǎn)，可得直線(xiàn)L的方程，從而可求b的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=kx，即kx-y=0．
∵該直線(xiàn)與圓相切，
∴雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)方程為y=±x．
設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為，
∵雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)為，
∴2a²=2，a²=1．
∴雙曲線(xiàn)C的方程為x²-y²=1．
（2）若Q在雙曲線(xiàn)的右支上，則延長(zhǎng)QF₂到T，使|QT|=|OF₁|；
若Q在雙曲線(xiàn)的左支上，則在QF₂上取一點(diǎn)T，使|QT|=|QF₁|．
根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，|TF₂|=2，
所以點(diǎn)T在以F₂為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)T的軌跡方程是．     ①
由于點(diǎn)N是線(xiàn)段F₁T的中點(diǎn)，設(shè)N（x，y），T（x_T，y_T），
則
代入①并整理，得點(diǎn)N的軌跡方程為 ．
（3）由．令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2，
直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程 f（x）=0在（-∞，0）上有兩個(gè)不等實(shí)根，
因此．
又AB的中點(diǎn)為，
∴直線(xiàn)L的方程為．
令x=0，得．
∵，
∴．
∴故b的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線(xiàn)為載體，考查雙曲線(xiàn)的有關(guān)性質(zhì)與定義，以及求軌跡方程的方法（如相關(guān)點(diǎn)代入法），考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系．