Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓的長軸長為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 存在實(shí)數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，理由見解析．

【解析】

(1)由長軸長為4，可得求出，再結(jié)合及，即可求出，從而求出橢圓的方程；

(2) 設(shè)，，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出，，再由以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，可得，即，將，整體代入即可求出．

(1)因?yàn)闄E圓的長軸長為4，所以，所以，

又，所以，所以，

所以橢圓的方程為．

(2)存在實(shí)數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．

證明：設(shè)，，

由，得，

因?yàn)橹本�與橢圓交于兩點(diǎn)，

所以，所以或，

所以，，

所以

因?yàn)橐跃�段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，

所以，即，

所以，解得，

所以存在實(shí)數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．