Question

【題目】已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)作斜率為的直線恰好與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓的長軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，，是否存在常數(shù)，使成等差數(shù)列？若存在，求出的值：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在滿足條件的常數(shù)，.

【解析】

（1）由點(diǎn)在橢圓上，可求出，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)可得，從而可求出 的值，進(jìn)而可求橢圓的方程.

（2）設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，，寫出過點(diǎn)斜率為的直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得，，， ，當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)，，即，整理得，從而可求出 的值.

（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，橢圓方程為，

過點(diǎn)作的斜率為的直線方程為，與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，即

，整理得，，因?yàn)橹本�和橢圓有一個(gè)交點(diǎn)，

此時(shí) ，解得，所以的方程為.

（2）設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，，

則過點(diǎn)斜率為的直線方程為，與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立得

，整理得，，由韋達(dá)定理知，

，，， ，

當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)，，即

，整理得

，則

整理得，，解得或（舍去）

所以當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列.