Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，前n項(xiàng)和為S_n，是否存在常數(shù)c，使數(shù)列{S_n+c}也成等比數(shù)列？若存在，求出常數(shù)c；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：假設(shè)存在常數(shù)c，使數(shù)列{S_n+c}也成等比數(shù)列，由數(shù)列{S_n+c}成等比數(shù)列得到關(guān)于S_n的遞推式，分q=1和q≠1寫(xiě)出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，代入整理后求解C的值．

解答：解：設(shè)存在常數(shù) C，使數(shù)列{S_n+c}成等比數(shù)列．
∵(Sn+c)(Sn+2+c)=(Sn+1+c)2，
∴Sn•Sn+2-Sn+12=c(2Sn+1-Sn-Sn+2)．
①當(dāng)q=1時(shí)，S_n=na₁，
代入上式得a12n(n+2)-a12(n+1)2=ca₁[2（n+1）-n-（n+2）]．
即a12=0．
但a₁≠0，于是不存在常數(shù)c，使{S_n+c}成等比數(shù)列；
②當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，
代 入 上 式 得

-a12qn

(1-q)2

(1-q)2=

ca1qn

1-q

(1-q)2．
∴c=

a1

q-1

．
綜上可知，存在常數(shù)c=

a1

q-1

，使成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了數(shù)列的遞推式及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了運(yùn)算能力，是中檔題．