Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BD=

2

，∠ABD=90°，將它們沿對(duì)角線BD折起，折后的點(diǎn)C變?yōu)镃₁，且AC₁=2．
（1）求證：平面ABD⊥平面BC₁D；
（2）E為線段AC₁上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段EC₁的長為多少時(shí)，DE與平面BC₁D所成的角為30°？

Answer 1

（1）證明：∵AB=1，BD=

2

，∠ABD=90°，∴AD=

12+( 2 )2

=

3

=BC，
∵AC₁=2，∴AC12=AB2+BC12，∴∠ABC1=90°，∴AB⊥BC₁．
又AB⊥BD，BC₁∩BD=B，∴AB⊥平面BC₁D，
∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BC₁D．
（2）在平面BC₁D過點(diǎn)B作直線l⊥BD，分別以直線l，BD，BA為x，y，z建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，
則A（0，0，1），C₁（1，

2

，0），D（0，

2

，0），
∴

AC1

=(1，

2

，-1)，

BA

=(0，0，1)，
設(shè)

AE

=λ

AC1

=(λ，

2

λ，-λ)，則E(λ，

2

λ，1-λ)，λ∈[0，1]，∴

DE

=(λ，

2

λ-

2

，1-λ)．
又

BA

=(0，0，1)是平面BC₁D的一個(gè)法向量，
依題意得sin30o=|cos＜

BA

，

DE

＞|，即|

1-λ

λ2+3(λ-1)2

|=

1

2

，
解得λ=

1

2

，即|C₁E|=1時(shí)，DE與平面BC₁D所成的角為30°．