Question

如圖9-7，已知圓C：x²+y²=4,A(,0)是圓內(nèi)一點(diǎn)。Q是圓上一動(dòng)點(diǎn)，AQ的垂直平分線交OQ于P，當(dāng)點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為曲線E。

（1）求曲線E的方程；

（2）過點(diǎn)O作傾斜角為θ的直線與曲線E交于B₁、B₂兩點(diǎn)，當(dāng)θ在范圍（0，）內(nèi)變化時(shí)，求△AB₁B₂的面積S(θ)的最大值。

Answer 1

解  （1）∵P在AQ的垂直平分線上，又在半徑OQ上，∴|PQ|=|PA|，且|OP|+|PA|=|OQ|=2，

故P點(diǎn)的軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)，長軸長為2，中心在（，0）的橢圓：

(x-)²+=1

（2）設(shè)OB₁=x，則AB₁=2-x，在△OAB₁中，由余弦定理得|AB₁|²=|OB₁|²+|OA|²-2|OB₁|·|OA|

cosθ，

即(2-x)²=x²+3-2x·cosθ，解得x=,

同理可得,

S(θ)=S=S+S

=|OA|·|OB₁|sinθ+|OA|·|OB₂|sin(π-θ)

=|OA|(+)

==≤

當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=，即θ=arcsin時(shí)取等號(hào)，

∴當(dāng)θ=arcsin時(shí)，S_max(θ)=。