設(shè)雙曲線的頂點是橢圓
x2
3
+
y2
4
=1的焦點，該雙曲線又與直線
15
x-3y+6=0交于兩點A、B且OA⊥OB（O為原點）．
（1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 
（2）求|AB|的長度．
分析：（1）利用條件雙曲線的頂點是橢圓
x2
3
+
y2
4
=1的焦點，可以假雙曲線的方程為y2-
x2
b2
=1，再結(jié)合條件OA⊥OB，可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求|AB|的長度，利用兩點間的距離公式求解．
解答：解：（1）橢圓
x2
3
+
y2
4
=1的焦點為（0，±1），依題意設(shè)雙曲線的方程為y2-
x2
b2
=1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則
15
x1=3y1-6，
15
x2=3y2-6，∴15x1x2=9y1y2-18（y1+y2）+36，
∴x1x2=
3y1y2-6(y1+y2)+12
5

由 OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴4y1y2-3（y1+y2）+6=0…①
由
y2-
x2
b2
=1
15
x-3y+6=0
，∴（15b2-9）y2+36y-（15b2+36）=0…②
∴y1+y2=
36
9-15b2
，y1y2=
15b2+36
9-15b2
，代入①中得b2=3∴雙曲線的方程為y2-
x2
3
=1
（2）將b2=3代入②式中，得4y2+4y-9=0，y1+y2=-1，y1y2=-
9
4

∴|AB|=
1+
1
k2
|y2-y1|=
1+
3
5
•
1-4×(-
9
4
)=4
點評：本題（1）問利用直線與曲線聯(lián)立方程組，采用設(shè)而不求的方法，關(guān)鍵是設(shè)點；（2）問則在（1）問得基礎(chǔ)上借助于兩點間的距離公式求解．屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的周長為4（
2
+1），一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明k1•k2=1；
（Ⅲ）（此小題僅理科做）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•天津模擬）如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與一等軸雙曲線相交，M是其中一個交點，并且雙曲線的頂點是該橢圓的焦點F1，F(xiàn)2，雙曲線的焦點是橢圓的頂點A1，A2，△MF1F2的周長為4（
2
+1）．設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明k1•k2=1；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)雙曲線的頂點是橢圓
x2
3
+
y2
4
=1的焦點，該雙曲線又與直線
15
x-3y+6=0交于兩點A、B且OA⊥OB（O為原點）．
（1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 
（2）求|AB|的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007-2008學(xué)年四川省成都十八中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)雙曲線的頂點是橢圓的焦點，該雙曲線又與直線交于兩點A、B且OA⊥OB（O為原點）．
（1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 
（2）求|AB|的長度．

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