Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，側棱與底面所成角為θ，點B₁在底面上的射影D落在BC上．
（1）求證：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）若cosθ=

1

3

，且當AC=BC=AA₁=3時，求二面角C-AB-C₁的大小．

Answer 1

分析：（1）要證：AC⊥平面BB₁C₁C，只需證明B₁D⊥AC，BC⊥AC即可；
（2）根據題意建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量，再利用向量的數量積求出兩個向量的夾角，進而轉化為二面角C-AB-C₁的大�。�

解答：解：（1）證明：∵點B₁在底面上的射影D落在BC上，
∴B₁D⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴B₁D⊥AC，
又∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，B₁D∩BC=D，
∴AC⊥平面BB₁C₁C．                                            …（4分）
（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，過C點且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則A（3，0，0），B（0，3，0），C1(0，-1，2

2

)，
所以

AB

=(-3，3，0)，

BC1

=(0，-4，2

2

)．
由題意可得：顯然平面ABC的法向量n=（0，0，1）．           …（7分）
設平面ABC₁的法向量為

m

=（x，y，z），
由

m • AB =0 m • BC1 =0

，即

-3x+3y=0 -4y+2 2 z=0

，

m

=(

2

，

2

，2)…（12分）  
∴cos＜

n

，

m

＞= 

2

2

，＜

n

，

m

＞=45°
∴二面角C-AB-C₁的大小是45°． …（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，以及二面角的求法，考查空間想象能力、邏輯思維能力，是中檔題．