【題目】已知為坐標(biāo)原點,橢圓的左,右焦點分別為,,點又恰為拋物線的焦點,以為直徑的圓與橢圓僅有兩個公共點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與相交于,兩點,記點,到直線的距離分別為,,.直線與相交于,兩點,記,的面積分別為,.
(。┳C明:的周長為定值;
(ⅱ)求的最大值.
【答案】(1);(2)(i)詳見解析;(ii).
【解析】
(1)由已知求得,可得,又以為直徑的圓與橢圓僅有兩個公共點,知,從而求得與的值,則答案可求;
(2)由題意,為拋物線的準(zhǔn)線,由拋物線的定義知,,結(jié)合,可知等號當(dāng)且僅當(dāng),,三點共線時成立.可得直線過定點,根據(jù)橢圓定義即可證明為定值;
若直線的斜率不存在,則直線的方程為,求出與可得;若直線的斜率存在,可設(shè)直線方程為,,,,,,,,,方便聯(lián)立直線方程與拋物線方程,直線方程與橢圓方程,利用弦長公式求得,,可得,由此可求的最大值.
解:(1)因為為拋物線的焦點,故
所以
又因為以為直徑的圓與橢圓僅有兩個公共點知:
所以,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
(2)(ⅰ)由題知,因為為拋物線的準(zhǔn)線
由拋物線的定義知:
又因為,等號當(dāng)僅當(dāng),,三點共線時成立
所以直線過定點
根據(jù)橢圓定義得:
(ⅱ)若直線的斜率不存在,則直線的方程為
因為,,所以
若直線的斜率存在,則可設(shè)直線,設(shè),
由得,
所以,
設(shè),,
由得,
則,
所以
則
綜上知:的最大值等于
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】第18屆國際籃聯(lián)籃球世界杯(世界男子籃球錦標(biāo)賽更名為籃球世界杯后的第二屆世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中國的北京、廣州、南京、上海、武漢、深圳、佛山、東莞八座城市舉行.中國隊12名球員在第一場和第二場得分的莖葉圖如圖所示,則下列說法錯誤的是( )
A.第一場得分的中位數(shù)為B.第二場得分的平均數(shù)為
C.第一場得分的極差大于第二場得分的極差D.第一場與第二場得分的眾數(shù)相等
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【題目】已知函數(shù)的圖象上有且僅有兩個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖象上,則實數(shù)的取值范圍是________.
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【題目】設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若an>0,a1=1,且2Sn=an(an+t)(t∈R,n∈N*),則S100=_____.
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【題目】天文學(xué)中為了衡量星星的明暗程度,古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯(,又名依巴谷)在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個概念.星等的數(shù)值越小,星星就越亮;星等的數(shù)值越大,它的光就越暗.到了1850年,由于光度計在天體光度測量中的應(yīng)用,英國天文學(xué)家普森()又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足.其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍,則與最接近的是(當(dāng)較小時, )
A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年是中國傳統(tǒng)的農(nóng)歷“鼠年”,有人用3個圓構(gòu)成“卡通鼠”的形象,如圖:是圓的圓心,圓過坐標(biāo)原點;點、均在軸上,圓與圓的半徑都等于2,圓圓均與圓外切.已知直線過點.
(1)若直線與圓、圓均相切,則截圓所得弦長為__________;
(2)若直線截圓、圓、圓所得弦長均等于,則__________.
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【題目】某商場春節(jié)期間推出一項優(yōu)惠活動,活動規(guī)則如下:消費(fèi)額每滿300元可轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次,并獲得相應(yīng)金額的返券,假定指針等可能地停在任一位置.若指針停在區(qū)域Ⅰ返券60元;停在區(qū)域Ⅱ返券30元;停在區(qū)域Ⅲ不返券.例如:消費(fèi)600元,可抽獎2次,所獲得的返券金額是兩次金額之和.
(Ⅰ)若某位顧客消費(fèi)300元,求返券金額不低于30元的概率;
(Ⅱ)若某位顧客恰好消費(fèi)600元,并按規(guī)則參與了活動,他獲得返券的金額記為(元).求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有一個“引葭赴岸”問題:“今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊.問水深、葭長各幾何?”其意思為“今有水池1丈見方(即尺),蘆葦生長在水的中央,長出水面的部分為1尺.將蘆葦向池岸牽引,恰巧與水岸齊接(如圖所示).試問水深、蘆葦?shù)拈L度各是多少?假設(shè),現(xiàn)有下述四個結(jié)論:
①水深為12尺;②蘆葦長為15尺;③;④.
其中所有正確結(jié)論的編號是( )
A.①③B.①③④C.①④D.②③④
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【題目】近年電子商務(wù)蓬勃發(fā)展,現(xiàn)從某電子商務(wù)平臺評價系統(tǒng)中隨機(jī)選出200次成功交易,并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計,統(tǒng)計結(jié)果顯示:網(wǎng)購者對商品的滿意率為0.70,對快遞的滿意率為0.60,其中對商品和快遞都滿意的交易為80次.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,并回答在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下,能否認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對快遞滿意之間有關(guān)系”?
對快遞滿意 | 對快遞不滿意 | 合計 | |
對商品滿意 | 80 | ||
對商品不滿意 | |||
合計 | 200 |
(2)為進(jìn)一步提高購物者的滿意度,平臺按分層抽樣方法從200次交易中抽取10次交易進(jìn)行問卷調(diào)查,詳細(xì)了解滿意與否的具體原因,并在這10次交易中再隨機(jī)抽取2次進(jìn)行電話回訪,聽取購物者意見.求電話回訪的2次交易至少有一次對商品和快遞都滿意的概率.
附:(其中為樣本容量)
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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