設(shè)二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有兩個(gè)根α和β且滿足6α-2αβ+6β=3.

(1)試用an來表示an+1

(2)求證:{an-}是等比數(shù)列;

(3)當(dāng)a1=時(shí),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

思路解析:這是一道有關(guān)數(shù)列、二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的綜合題.根據(jù)題目條件給出的等量關(guān)系,找出遞推關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

解:(1)由條件,據(jù)韋達(dá)定理知

并代入已知條件6(α+β)-2αβ=3,

=3.

∴an+1=an+.

兩邊同時(shí)減去,得an+1-=an-=(an-).

(2)由an+1=an+

∴數(shù)列{an,-}是以為公比的等比數(shù)列.

(3)當(dāng)a1=時(shí),a1-=.

因此,數(shù)列{an,-}是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.

(an-)= ·()n-1.

∴an=+()n.

深化升華

本題中第(2)題的難點(diǎn)是如何發(fā)現(xiàn)在an+1=an+的兩邊同時(shí)減去.其方法是:設(shè)an+1+α=

(an+α),則an+1+α=an+α.

∴an+1=an-α,與an+1=an+對(duì)照,有-α=,

∴α=-.

一般地,對(duì)于形如an+1=can+d的遞推關(guān)系式,可以變形為(an+1-a)=c(an-a),使{an-a}成為一個(gè)等比數(shù)列,從而得到{an}的通項(xiàng)公式.

把條件中的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化到我們熟悉的等比數(shù)列中來研究,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸思想.


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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有兩根α、β,且滿足6α-2αβ+6β=3.
(1)試用an表示an+1;
(2)求證:{an-
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}是等比數(shù)列;
(3)若a1=
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,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有兩個(gè)實(shí)根α和β,且滿足6α-2αβ+6β=3.
(1)試用an表示an+1
(2)求證:{an-
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}是等比數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)二次方程anx2-an+1x+1=0,n∈N+有兩根α和β,且滿足6α-2αβ+6β=3,a1=1
(1)試用an表示an+1;            
(2)證明{an-
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}
是等比數(shù)列;
(3)設(shè)cn=n•(an-
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)
,n∈N+,Tn為{cn}的前n項(xiàng)和,證明:Tn
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(n∈N+).

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設(shè)二次方程anx2-an+1x+1=0,n∈N+有兩根α和β,且滿足6α-2αβ+6β=3,a1=1
(1)試用an表示an+1;
(2)證明{an-
2
3
}
是等比數(shù)列;
(3)設(shè)cn=n•(an-
2
3
)
,n∈N+,Tn為{cn}的前n項(xiàng)和,證明Tn<2,(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)二次方程anx2-an+1x+1=0,n∈N+有兩根α和β,且滿足6α-2αβ+6β=3,a1=1.
(1)證明:{an-
2
3
}
是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=n•(an-
2
3
)
,n∈N+,Tn為{cn}的前n項(xiàng)和,證明:Tn<2,(n∈N+).

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