Question

4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．
（1）恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？
（2）恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種選法？
（3）恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？

Answer 1

分析：（1）為保證“恰有一個(gè)盒內(nèi)不放球”，先選一個(gè)盒子，再將4個(gè)球分成2，1，1三組，然后全排列，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得結(jié)論；
（2）“恰有一個(gè)盒子放2球”與“恰有一個(gè)盒子不放球”是一回事，由此可得結(jié)論；
（3）先從四個(gè)盒子中任意拿走兩個(gè)，有

C

2 4

種方法．然后問題轉(zhuǎn)化為：“4個(gè)球，兩個(gè)盒子，每個(gè)盒子必放球，有幾種放法？”從放球數(shù)目，進(jìn)行分類討論，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）為保證“恰有一個(gè)盒內(nèi)不放球”，先選一個(gè)盒子，有

C

1 4

種方法；再將4個(gè)球分成2，1，1三組，有

C

2 4

種分法，然后全排列，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共

A

3 3

有種放法，故共有

C

1 4

C

2 4

A

3 3

=144種放法；
（2）“恰有一個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”，即另外的三個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，即另外三個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，因此，“恰有一個(gè)盒子放2球”與“恰有一個(gè)盒子不放球”是一回事，共有

C

1 4

C

2 4

A

3 3

=144種放法；
（3）先從四個(gè)盒子中任意拿走兩個(gè)，有

C

2 4

種方法．然后問題轉(zhuǎn)化為：“4個(gè)球，兩個(gè)盒子，每個(gè)盒子必放球，有幾種放法？”從放球數(shù)目看，可分為3，1和2，2兩類：
第一類：可從4個(gè)球中先選3個(gè)，然后放入指定的一個(gè)盒子中即可，有

C

3 4

C

1 2

種放法；
第二類：有

C

2 4

種放法．
由分步計(jì)數(shù)原理得“恰有兩個(gè)盒子不放球”的放法有

C

2 4

（

C

3 4

C

1 2

+

C

2 4

）=84放法．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合知識(shí)，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．