【題目】如圖,定義:以橢圓中心為圓心,長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔助圓”.過橢圓第四象限內(nèi)一點(diǎn)Mx軸的垂線交其“輔助圓”于點(diǎn)N,當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的下方時,稱點(diǎn)N為點(diǎn)M的“下輔助點(diǎn)”.已知橢圓上的點(diǎn)的下輔助點(diǎn)為(1,﹣1).

1)求橢圓E的方程;

2)若△OMN的面積等于,求下輔助點(diǎn)N的坐標(biāo);

3)已知直線lxmyt0與橢圓E交于不同的A,B兩點(diǎn),若橢圓E上存在點(diǎn)P,使得四邊形OAPB是對邊平行且相等的四邊形.求直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積最小時的m2+t2的值.

【答案】1y21;(2)(, 或();(33

【解析】

1)由橢圓過的點(diǎn)的坐標(biāo)和輔助圓x2+y2a2過的坐標(biāo),代入可得a,b的值,進(jìn)而求出橢圓的方程;

2)設(shè)N的坐標(biāo)和M的坐標(biāo),代入橢圓和輔助圓求出N,M的坐標(biāo)的關(guān)系,進(jìn)而求出△OMN的面積SOMNx0y1y0,則x0y1和,y121,聯(lián)立求出下輔助點(diǎn)N的坐標(biāo);

3)設(shè)A,B的坐標(biāo)將直線AB的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積,求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo),因為四邊形OAPB是對邊平行且相等,即四邊形OAPB恰好為平行四邊形,所以.所以三角形OAB面積為,當(dāng)且僅當(dāng)m22t21時取等號,進(jìn)而可得m2+t2的值為3

1)因為橢圓E1,過點(diǎn)(1),輔助圓x2+y2a2過(1,1),所以可得a212+(﹣122,

所以橢圓的實(shí)半軸長的平方a22,

所以1,解得:b21,

∴橢圓E的方程為:y21;

2)設(shè)點(diǎn)Nx0,y0),(y00),則由題意可得點(diǎn)Mx0,y1),(y10),將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入輔助圓方程和橢圓方程可得,x02+y022,y121,

y022y12,即y0,

SOMNx0y1y0,則x0y1

聯(lián)立,可解得,∴下輔助點(diǎn)N 的坐標(biāo)為(, 或(,);

3)由題意可設(shè)Ax1y1),Bx2y2).

聯(lián)立整理得(m2+2y2+2mty+t220,

則△=8m2+2t2)>0

根據(jù)韋達(dá)定理得

因為四邊形OAPB是對邊平行且相等,即四邊形OAPB恰好為平行四邊形,

所以.所以,

因為點(diǎn)P在橢圓E 上,所以,

整理得,即4t2m2+2,

在直線lxmyt0中,由于直線l與坐標(biāo)軸圍成三角形,則t0,m0

x0,得,令y0,得xt

所以三角形OAB面積為,

當(dāng)且僅當(dāng)m22t21時,取等號,此時△=240.且有m2+t23,

故所求m2+t2 的值為3

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2)在人均國內(nèi)生產(chǎn)總值介于6.5萬與10萬之間的7省級行政區(qū)中,有3個人口性別比例正常,從中任取兩個,求抽到兩個省級行政區(qū)的人口性別比例都正常的概率.

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,

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