Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓和拋物線有公共焦點(diǎn)F(1,0), 的中心和的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M（4，0）的直線與拋物線分別相交于A,B兩點(diǎn).

（Ⅰ）寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若，求直線的方程；

（Ⅲ）若坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在拋物線上，直線與橢圓有公共點(diǎn)，求橢圓的長軸長的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）或（3）

【解析】（Ⅰ）由題意，拋物線的方程為：，                                  …………2分

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：.

聯(lián)立，消去，得 ，                     ……………3分

顯然，設(shè)，

則                   ①

                         ②                                       …………………4分

又，所以      ③                                         …………………5分

由①② ③消去，得    ，               

故直線的方程為或 .                               …………………6分

（Ⅲ）設(shè)，則中點(diǎn)為， 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052017314546872829/SYS201205201734105625513474_DA.files/image024.png">兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，

所以，即，解之得，                          …………………8分

將其代入拋物線方程，得：

，所以，.                                                ………………………9分

聯(lián)立 ，消去，得：

.                                           ………………………10分

由，得

，即，                                  …………………12分

將，代入上式并化簡，得

，所以，即，   

因此，橢圓長軸長的最小值為.                                           ………………………13分