已知函數(shù)f(x)=-2alnx(a>0)
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值.
(II)若方程f(x)=2ax有唯一解,求實(shí)數(shù)a的值.

(I)函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為,最小值為
(II)

解析試題分析:解:⑴函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c7/5/1ej124.png" style="vertical-align:middle;" />,且,
所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),
即函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為
.
⑵設(shè),
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e5/7/zjoit1.png" style="vertical-align:middle;" />,令,則,
所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),
即函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為,
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)均有,
所以有唯一解,
注意到,所以 
所以,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/02/4/1ddld4.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
,則對(duì)于恒成立,
為增函數(shù),又,所以,
解之得,為所求.
考點(diǎn):函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí),以及推理能力、運(yùn)算能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力,屬中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)
(1)計(jì)算的值,據(jù)此提出一個(gè)猜想,并予以證明;
(2)證明:除點(diǎn)(2,2)外,函數(shù)的圖像均在直線的下方.

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已知函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在原點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(Ⅲ)證明不等式對(duì)任意成立.

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已知函數(shù)
(Ⅰ)請(qǐng)寫出函數(shù)在每段區(qū)間上的解析式,并在圖中的直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象;
(II)若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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已知函數(shù)是定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/36/e/13xpu3.png" style="vertical-align:middle;" />的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),
,(。
(1)求實(shí)數(shù)的值;并求函數(shù)在定義域上的解析式;
(2)求證:函數(shù)上是增函數(shù)。

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已知a>0,a≠1,設(shè)p:函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞減,q:曲線y=x2+(2a-3)x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn).如果p與q有且只有一個(gè)正確,求a的取值范圍

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已知.
(1)若a=0時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)(1,)處的切線方程;
(2)若函數(shù)在[1,2]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)令是否存在實(shí)數(shù)a,當(dāng)是自然對(duì)數(shù)的底)時(shí),函數(shù) 的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.

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已知是奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,求時(shí),的表達(dá)式。

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設(shè)函數(shù)表示導(dǎo)函數(shù)。
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明不等式對(duì)一切正整數(shù)均成立,并比較的大小.

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