Question

在平面直角坐標系中，定義以原點為圓心，以

a2+b2

為半徑的圓O為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的“準圓”．已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率為

3

3

，直線l：2x-y+5=0與橢圓C的“準圓”相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）P為橢圓C的右準線上一點，過點P作橢圓C的“準圓”的切線段PQ，點F為橢圓C的右焦點，求證：|PQ|=|PF|
（3）過點M(-

6

5

，0)的直線與橢圓C交于A，B兩點，為Q橢圓C的左頂點，是否存在直線l使得△QAB為直角三角形？

Answer 1

分析：（1）由于直線l：2x-y+5=0與橢圓C的“準圓”相切，利用點到直線的距離公式可得

a2+b2

=

5

22+(-1)2

=

5

，即a²+b²=5，聯(lián)立

a2+b2=5 e= c a = 3 3 a2=b2+c2

，解得即可；
（2）橢圓C的準線方程為x=

a2

c

=3，可設(shè)P（3，t）．利用兩點間的距離公式可得|PF|²．由于PQ與橢圓C的準圓x²+y²=5相切于點Q，利用勾股定理可得|PQ|²=|OP|²-r²，即可證明結(jié)論．
（3）假設(shè)存在直線l使得△QAB為直角三角形，只有可能∠AQB=90°．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設(shè)直線l的方程為：my=x+

6

5

，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，令

AQ

•

BQ

=0，若解出m的值證明存在△QAB為直角三角形，否則不存在．

解答：解：（1）∵直線l：2x-y+5=0與橢圓C的“準圓”相切，∴

a2+b2

=

5

22+(-1)2

=

5

，化為a²+b²=5，聯(lián)立

a2+b2=5 e= c a = 3 3 a2=b2+c2

，解得a²=3，b²=2，c=1．
∴橢圓C的方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）如圖所示，∵橢圓C的準線方程為x=

a2

c

=3，可設(shè)P（3，t）．∵橢圓C的焦點F（1，0），∴|PF|²=（3-1）²+（t-0）²=4+t²．
∵PQ與橢圓C的準圓x²+y²=5相切于點Q，∴|PQ|²=|OP|²-r²=3²+t²-5=4+t²，
∴|PQ|²=|PF|²，∴|PQ|=|PF|．
（3）假設(shè)存在直線l使得△QAB為直角三角形，可能∠AQB=90°，∠QAB=90°，或∠QBA=90°
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)直線l的方程為：my=x+

6

5

，聯(lián)立

my=x+ 6 5 x2 3 + y2 2 =1

化為（75+50m²）y²-120my-78=0．
∴y₁+y₂=

120m

75+50m2

，y1y2=

-78

75+50m2

．
①由

QA

•

QB

=(x1+

3

，y1)•(x2+

3

，y2)=(my1-

6

5

+

3

，y1)•(my2-

6

5

+

3

，y2)
=(m2+1)y1y2+(

3

-

6

5

)m(y1+y2)+(

3

-

6

5

)2
=

-78(1+m2)

75+50m2

+

120•( 3 - 6 5 )m2

75+50m2

+(

3

-

6

5

)2=0，
化為[(

3

-

6

5

)2×50-222]m2=78-75(

3

-

6

5

)2，無解，此時不存在直線l滿足條件．
②令

QA

•

MA

=(x1+

3

，y1)•(x1+

6

5

，y1)=

x

2 1

+(

3

+

6

5

)x1+

6 3

5

+

y

2 1

=

x

2 1

+(

3

+

6

5

)x1+

6 3

5

+(2-

2 x 2 1

3

)=

1

3

x

2 1

+(

3

+

6

5

)x1+

10+6 3

5

=0，
∵△=(

3

+

6

5

)2-4×

1

3

×

10+6 3

5

＞0，∴此時存在兩個A點滿足條件；
同理存在兩個B點滿足條件．
綜上可知：存在四條直線l滿足條件．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、直線與圓相切問題、勾股定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．