如圖所示：已知過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)。

（1）求證：以AF為直徑的圓與x軸相切；
（2）設(shè)拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)為M，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，求△ABM的外接圓方程；
（3）設(shè)過拋物線焦點(diǎn)F的直線與橢圓的交點(diǎn)為C、D，是否存在直線使得，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。

（1）根據(jù)題意只要證明∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切
（2）
（3）。

解析試題分析：（1）解法一（幾何法）設(shè)線段AF中點(diǎn)為，過作垂直于x軸，垂足為,則
 ，     2分
又∵，       3分
∴∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切。     4分 
解法二（代數(shù)法）設(shè),線段AF中點(diǎn)為，過作垂直于x軸，
垂足為，則，
∴．      2分
又∵點(diǎn)為線段AF的中點(diǎn)，∴，     3分
∴，
∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切。     4分

（2）設(shè)直線AB的方程為，，
由 ，
∴．     5分
由，
，      6分
，故的外接圓圓心為線段的中點(diǎn)。
設(shè)線段AB中點(diǎn)為點(diǎn)P，易證⊙P與拋物線的準(zhǔn)線相切，切點(diǎn)為點(diǎn)M ，
．  7分
 8分
又，
 ．     9分
（3），設(shè)，10分
則 ，設(shè)，則
       11分
將代入可得： ． ①     12分
由，
聯(lián)立可得，②     13分
聯(lián)立①②可得 ，解得．
。      14分
考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是常數(shù),記的軌跡為曲線.
（I）求曲線的方程；
（II）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,試問：當(dāng)變化時，直線與軸是否交于一個定點(diǎn)？若是，請寫出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，y軸右側(cè)的一動點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比它到軸的距離大
（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)為曲線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上，若為圓的外切三角形，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線，過軸上一點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)兩點(diǎn)。
證明，存在唯一一點(diǎn)，使得為常數(shù)，并確定點(diǎn)的坐標(biāo)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為．分別過，的兩條弦，相交于點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)），且．

（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知曲線，曲線，P是平面上一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn)，則稱P為“C1—C2型點(diǎn)”．

(1)在正確證明的左焦點(diǎn)是“C1—C2型點(diǎn)”時，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；
(2)設(shè)直線與有公共點(diǎn)，求證，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1—C2型點(diǎn)”；
(3)求證：圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1—C2型點(diǎn)”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知,直線, 動點(diǎn)到的距離是它到定直線距離的倍. 設(shè)動點(diǎn)的軌跡曲線為. 
（1）求曲線的軌跡方程.
（2）設(shè)點(diǎn), 若直線為曲線的任意一條切線,且點(diǎn)、到的距離分別為,試判斷是否為常數(shù),請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線:的距離為.設(shè)為直線上的點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,其中為切點(diǎn).
(Ⅰ) 求拋物線的方程；
(Ⅱ) 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時,求直線的方程；
(Ⅲ) 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動時,求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)直線是曲線的一條切線，．
（Ⅰ）求切點(diǎn)坐標(biāo)及的值；
（Ⅱ）當(dāng)時，存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案