【題目】已知函數(shù)在處的切線斜率為2.
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若在上無解,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ) 單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為和 極小值為,極大值為 (Ⅱ)
【解析】試題分析:
(Ⅰ)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式有,則,由得或.結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號研究函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為和.則函數(shù)的極小值為,極大值為;
(Ⅱ)構(gòu)造新函數(shù),令,由題意可得在上恒成立.其中,研究其分母部分,記,由題意可得.分類討論:
若,則單調(diào)遞減.∴恒成立.
若,則在上單調(diào)遞增.而,故與已知矛盾,舍去.
綜上可知, .
試題解析:
解:(Ⅰ)∵ , ,
∴.
∴, .
令,解得或.
當(dāng)變化時, 的變化情況如下表:
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為和.
∴函數(shù)的極小值為,極大值為;
(Ⅱ)令.
∵在上無解,
∴在上恒成立.
∵,記,
∵在上恒成立,
∴在上單調(diào)遞減.
∴.
若,則, ,
∴.
∴單調(diào)遞減.
∴恒成立.
若,則,存在,使得,
∴當(dāng)時, ,即.
∴在上單調(diào)遞增.
∵,
∴在上成立,與已知矛盾,故舍去.
綜上可知, .
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為2.以極點為原點,極軸為的正半軸,取相同的長度單位建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求圓的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)與圓的交點為, 與軸的交點為,求.
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【題目】已知橢圓()的左、右焦點分別為、,設(shè)點,在中, ,周長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)不經(jīng)過點的直線與橢圓相交于、兩點,若直線與的斜率之和為,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標(biāo);
(3)記第(2)問所求的定點為,點為橢圓上的一個動點,試根據(jù)面積的不同取值范圍,討論存在的個數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求函數(shù)的最小值.
(Ⅱ)是否存在一次函數(shù),使得對于,總有,且成立?若存在,求出的表達式;若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù),其中.
(1)設(shè),討論的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在內(nèi)存在零點,求的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高中三年級共有人,其中男生人,女生人,為調(diào)查該年級學(xué)生每周平均體育運動時間的情況,采用分層抽樣的方法,收集位學(xué)生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時).
(Ⅰ)應(yīng)收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)?
(Ⅱ)根據(jù)這個樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示).其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為: , , , , , .估計該年組學(xué)生每周平均體育運動時間超過個小時的概率.
(Ⅲ)在樣本數(shù)據(jù)中,有位女生的每周平均體育運動時間超過個小時.請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為“該年級學(xué)生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”.
附:
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【題目】已知橢圓:的左、右有頂點分別是、,上頂點是,圓:的圓心到直線的距離是,且橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)平行于軸的動直線與橢圓和圓在第一象限內(nèi)的交點分別為、,直線、與軸的交點記為,.試判斷是否為定值,若是,證明你的結(jié)論.若不是,舉反例說明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班為了活躍元旦晚會氣氛,主持人請12位同學(xué)做一個游戲,第一輪游戲中,主持人將標(biāo)有數(shù)字1到12的十二張相同的卡片放入一個不透明的盒子中,每人依次從中取出一張卡片,取到標(biāo)有數(shù)字7到12的卡片的同學(xué)留下,其余的淘汰;第二輪將標(biāo)有數(shù)字1到6的六張相同的卡片放入一個不透明的盒子中,每人依次從中取出一張卡片,取到標(biāo)有數(shù)字4到6的卡片的同學(xué)留下,其余的淘汰;第三輪將標(biāo)有數(shù)字1,2,3的三張相同的卡片放入一個不透明的盒子中,每人依次從中取出一張卡片,取到標(biāo)有數(shù)字2,3的卡片的同學(xué)留下,其余的淘汰;第四輪用同樣的辦法淘汰一位同學(xué),最后留下的這位同學(xué)獲得一個獎品.已知同學(xué)甲參加了該游戲.
(1)求甲獲得獎品的概率;
(2)設(shè)為甲參加游戲的輪數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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【題目】從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭,獲得第i個家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得=80, =20, =184, =720.
(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=bx+a;
(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負相關(guān);
(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測該家庭的月儲蓄.
附:線性回歸方程y=bx+a中, ,a=-b,其中, 為樣本平均值.
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