Question

已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，P（3，0）是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N（-12，-15），則E的方程式為

x2

4

-

y2

5

=1

．

Answer 1

分析：利用點(diǎn)差法求出直線AB的斜率，再根據(jù)P（3，0）是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N（-12，-15），可建立方程組，從而可求雙曲線的方程．

解答：解：由題意，不妨設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
∵P（3，0）是E的焦點(diǎn)，∴c=3，∴a²+b²=9．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則有：

x12

a2

-

y12

b2

=1①；

x22

a2

-

y22

b2

=1②
由①-②得：

y1-y2

x1-x2

=

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

∵AB的中點(diǎn)為N（-12，-15），
∴

y1-y2

x1-x2

=

4b2

5a2

又AB的斜率是

-15-0

-12-3

=1
∴

4b2

5a2

=1，即4b²=5a²
將4b²=5a²代入a²+b²=9，可得a²=4，b²=5
∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

4

-

y2

5

=1
故答案為：

x2

4

-

y2

5

=1

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)差法解決弦的中點(diǎn)問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是利用點(diǎn)差法求出直線AB的斜率．