【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+ ,(a>0)
(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調遞增,求a的取值范圍;
(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]的最小值.

【答案】
(1)解:a=2時,f(x)=lnx+ ,(x>0),且f(1)=0,

又∵f(x)= ,(x>0),

∴f(x)在x=1處的切線斜率為f′(1)= ,

故切線的斜率為y= (x﹣1),

即x﹣2y﹣1=0


(2)解:由題意,f′(x)= = ,

∵a為大于零的常數(shù),

若使函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調遞增,

則使ax﹣1≥0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,

即a﹣1≥0,故a≥1


(3)解:①當a≥1時,f(x)在區(qū)間[1,2]上單調遞增,

則fmin(x)=f(1)=0;

②當0<a≤ 時,f′(x)在區(qū)間[1,2]恒不大于0,

f(x)在區(qū)間[1,2]上單調遞減,

則fmin(x)=f(2)=ln2﹣ ;

③當 <a<1時,令f′(x)=0可解得,x= ∈(1,2);

易知f(x)在區(qū)間[1, ]單調遞減,在[ ,2]上單調遞增,

則fmin(x)=f( )=ln +1﹣

綜上所述,

①當a≥1時,fmin(x)=0;

②當 <a<1時,fmin(x)=ln +1﹣ ;

③當0<a≤ 時,fmin(x)=ln2﹣


【解析】(1)根據(jù)a的值求得函數(shù)解析式,再根據(jù)f(x)在x=1處的切線斜率為f′(1)進而求得其切線方程;(2)由函數(shù)的單調遞增區(qū)間可知f′(x)≥0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,解不等式即可得a的取值范圍;(3)求函數(shù)在一個區(qū)間上的最小值,先判斷該區(qū)間上函數(shù)的單調性,不能確定時,需對不確定的量進行分類討論.
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減.

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A.
B.
C.
D.

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(Ⅰ)請補齊表格中 8 組數(shù)據(jù)的散點圖,并判斷中哪一個更適宜作為年銷售量關于年宣傳費的函數(shù)表達式?(給出判斷即可,不必說明理由)

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