已知a,b為正實(shí)數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)=
lnx
x
,求f(x)的單調(diào)區(qū)間
(2)若e<a<b(e為自然對(duì)數(shù)的底),求證:ab>ba;(3)求滿足ab=ba(a≠b)的所有正整數(shù)a,b的值.
(1)∵f(x)=
lnx
x
,則f(x)=
1-lnx
x2
,
當(dāng)0<x<e時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x>e時(shí),f′(x)<0.
∴當(dāng)x∈(0,e)時(shí),f(x)為增函數(shù),當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),f(x)為減函數(shù).
(2)由上知,若e<a<b,f(a)>f(b),得:
lna
a
lnb
b
,∴blna>alnb,即lnab>lnba,∴ab>ba;
(3)由ab=ba得:
lna
a
=
lnb
b

∵當(dāng)x∈(0,e)時(shí),f(x)為增函數(shù),當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),f(x)為減函數(shù),∴
ln1
1
ln2
2
lne
e
ln3
3
ln4
4
ln5
5
…,
發(fā)現(xiàn)
ln2
2
=
ln4
4
,
∴a=4,b=2或a=2,b=4.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a,b為正實(shí)數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)=
lnxx
,求f(x)的單調(diào)區(qū)間
(2)若e<a<b(e為自然對(duì)數(shù)的底),求證:ab>ba

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a,b為正實(shí)數(shù).
(1)求證:
a2
b
+
b2
a
≥a+b;
(2)利用(I)的結(jié)論求函數(shù)y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
(0<x<1)的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•靜安區(qū)一模)(1)已知a、b為正實(shí)數(shù),a≠b,x>0,y>0.試比較
a2
x
b2
y
(a+b)2
x+y
的大小,并指出兩式相等的條件;
(2)求函數(shù)f(x)=
2
x
+
9
1-2x
,x∈(0,
1
2
)
的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a、b為正實(shí)數(shù),試比較
a
b
+
b
a
a
+
b
的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a,b為正實(shí)數(shù),且
2
a
+
1
b
=1
,則a+2b的最小值為
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案