【題目】(本題滿分12分) 如圖,的外接圓的半徑為,所在的平面,,,,且,.
(1)求證:平面ADC平面BCDE.
(2)試問線段DE上是否存在點M,使得直線AM與平面ACD所成角的正弦值為?若存在,
確定點M的位置,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)答案詳見解析;(2)存在,且.
【解析】
試題(1)由已知中CD⊥⊙O所在的平面,BE∥CD,易得BE⊥平面ABC,則BE⊥AB,由BE=1,,易得AB是⊙O的直徑,則AC⊥BC由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC,再由面面垂直的判定定理可得平面ADC⊥平面BCDE;(2)方法一:過點M作MN⊥CD于N,連接AN,作MF⊥CB于F,連接AF,可得∠MAN為MA與平面ACD所成的角,設(shè)MN=x,則由直線AM與平面ACD所成角的正弦值為,我們可以構(gòu)造關(guān)于x的方程,解方程即可求出x值,進(jìn)而得到點M的位置.方法二:建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C-xyz,求出平面ABC的法向量和直線AM的方向向量(含參數(shù)λ),由直線AM與平面ACD所成角的正弦值為,根據(jù)向量夾角公式,我們可以構(gòu)造關(guān)于λ的方程,解方程即可得到λ值,進(jìn)而得到點M的位置.
試題解析:(1)∵CD ⊥平面ABC,BE//CD
∴BE⊥平面ABC,∴BE⊥AB
∵BE=1,∴,
從而
∵⊙的半徑為,∴AB是直徑,
∴AC⊥BC
又∵CD ⊥平面ABC,∴CD⊥BC,故BC⊥平面ACD
平面BCDE,∴平面ADC平面BCDE
(2)方法1:
假設(shè)點M存在,過點M作MN⊥CD于N,連結(jié)AN,作MF⊥CB于F,連結(jié)AF
∵平面ADC平面BCDE,
∴MN⊥平面ACD,∴∠MAN為MA與平面ACD所成的角
設(shè)MN=x,計算易得,DN=,MF=
故
解得:(舍去),…11分
故,從而滿足條件的點存在,且
方法2:建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C—xyz,
則:A(4,0,0),B(0,2,0),D(0,0,4),E(0,2,1),O(0,0,0),則
易知平面ABC的法向量為,假設(shè)M點存在,設(shè),則,再設(shè) ,
即,從而…10分
設(shè)直線BM與平面ABD所成的角為,則:
解得,其中應(yīng)舍去,而故滿足條件的點M存在,且點M的坐標(biāo)為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,,平面BB1C1C底面ABCD,點、F分別是線段、BC的中點.
(1)求證:AF//平面;
(2)求證:平面BB1C1C⊥平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)平面上的一列點簡記為,若由構(gòu)成的數(shù)列滿足,(其中是與軸正方向相同的單位向量),則稱為“點列”.
(1)試判斷:,...是否為“點列”?并說明理由.
(2)若為“點列”,且點在點的右上方.任取其中連續(xù)三點,判斷的形狀(銳角,直角,鈍角三角形),并證明.
(3)若為“點列”,正整數(shù)滿足:,且,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】元宵節(jié)燈展后,如圖懸掛有6盞不同的花燈需要取下,每次取1盞,共有__________種不同取法.(用數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公園舉辦雕塑展覽吸引著四方賓客,旅游人數(shù)與人均消費(元)的關(guān)系如下:.
(1)若游客客源充足,那么當(dāng)天接待游客多少人時,公園的旅游收入最多?
(2)若公園每天運營成本為5萬元(不含工作人員的工資),還要上繳占旅游收入的稅收,其余自負(fù)盈虧,目前公園的工作人員維持在40人,要使工作人員平均每人每天的工資不低于100元,并維持每天正常運營(不負(fù)債),每天的游客人數(shù)應(yīng)控制在怎樣的合理范圍內(nèi)?(注:旅游收入=旅游人數(shù)×人均消費)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是:,,,,.
分?jǐn)?shù)段 | ||||
1∶1 | 2∶1 | 3∶4 | 4∶5 |
(1)求圖中的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這100名學(xué)生語文成績的平均分;
(3)若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)()與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)()之比如下表所示,求數(shù)學(xué)成績在之外的人數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某海警基地碼頭的正西方向海里處有海礁界碑,過點且與成角(即北偏東)的直線為此處的一段領(lǐng)海與公海的分界線(如圖所示)。在碼頭的正西方向且距離點海里的領(lǐng)海海面處有一艘可疑船停留,基地指揮部決定在測定可疑船的行駛方向后,海警巡邏艇從處即刻出發(fā)。若巡邏艇以可疑船的航速的倍前去攔截,假定巡邏艇和可疑船在攔截過程中均未改變航向航速,將在點處截獲可疑船。
(1)若可疑船的航速為海里小時,,且可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑,求巡邏艇成功攔截可疑船所用的時間。
(2)若要確保在領(lǐng)海內(nèi)(包括分界線)成功攔截可疑船,求的最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若在定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱為函數(shù)的局部對稱點.
(1)若,證明:函數(shù)必有局部對稱點;
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有局部對稱點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)在上有局部對稱點,求實數(shù)的取值范圍.
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