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給出下列四個命題:
①已知
a
=(3,  4), 
b
=(0,  1)
,則
a
b
方向上的投影為4;
②若函數y=(a+b)cos2x+(a-b)sin2x(x∈R)的值恒等于2,則點(a,b)關于原點對稱的點的坐標是(0,-2);
③函數f(x)=
1
lgx
在(0,+∞)上是減函數;
④已知函數f(x)=ax2+(b+c)x+1(a≠0)是偶函數,其定義域為[a-c,b],則點(a,b)的軌跡是直線;
⑤P是△ABC邊BC的中線AD上異于A、D的動點,AD=3,則
PA
•(
PB
+
PC
)
的取值范圍是[-
9
2
,  0)

其中所有正確命題的序號是
①③④⑤
①③④⑤
分析:①根據
a
b
方向上的投影為
a
b
|
b
|
,可得結論;
②先求點(a,b),即可得出結論;
③y=lgx在(0,+∞)上是增函數,可得函數f(x)=
1
lgx
在(0,+∞)上是減函數;
④利用函數是偶函數,求出b+c的值,確定a-c,b的關系,求出點(a,b)滿足的關系,即可得到;
⑤|AP|=t,t∈(0,3),則|PD|=3-t,故
PA
•(
PB
+
PC
)
=2
PA
PD
=-2t(3-t)=2t2-6t,利用配方法可得結論.
解答:解:①已知
a
=(3,  4), 
b
=(0,  1)
,則
a
b
方向上的投影為
a
b
|
b
|
=4,故是真命題;
②∵函數y=(a+b)cos2x+(a-b)sin2x=(a-b)+2bcos2x的值恒等于2,∴
a-b=2
b=0
,∴a=2,b=0,∴點(a,b)關于原點對稱的點的坐標是(-2,0),故是假命題;
③∵y=lgx在(0,+∞)上是增函數,∴函數f(x)=
1
lgx
在(0,+∞)上是減函數,故是真命題;
④函數f(x)=ax2+(b+c)x+1(a≠0)是偶函數,其定義域為[a-c,b],所以b+c=0,并且b=c-a,所以b=-b-a,即b=-
1
2
a,所以點(a,b)的軌跡是直線,故是真命題;
⑤設|AP|=t,t∈(0,3),則|PD|=3-t,∴
PA
•(
PB
+
PC
)
=2
PA
PD
=-2t(3-t)=2t2-6t=-2(t-
3
2
)
2
+
9
2
,∵t∈(0,3),∴
PA
•(
PB
+
PC
)
的取值范圍是[-
9
2
,  0)
,故是真命題.
故答案為:①③④⑤
點評:本題考查命題真假的判定,考查向量知識的運用,考查函數的性質,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

12、已知a、b是兩條不重合的直線,α、β、γ是三個兩兩不重合的平面,給出下列四個命題:
①若a⊥α,a⊥β,則α∥β;
②若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β;
③若α∥β,a?α,b?β,則a∥b;
④若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,則a∥b.
其中正確命題的序號有
①④

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科目:高中數學 來源: 題型:

給出下列四個命題:
①函數y=
1
x
的單調減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞);
②函數y=x2-4x+6,當x∈[1,4]時,函數的值域為[3,6];
③函數y=3(x-1)2的圖象可由y=3x2的圖象向右平移1個單位得到;
④若函數f(x)的定義域為[0,2],則函數f(2x)的定義域為[0,1];
⑤若A={s|s=x2+1},B={y|x=
y-1
}
,則A∩B=A.
其中正確命題的序號是
③④⑤
③④⑤
.(填上所有正確命題的序號)

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科目:高中數學 來源: 題型:

將邊長為2,銳角為60°的菱形ABCD沿較短對角線BD折成二面角A-BD-C,點E,F分別為AC,BD的中點,給出下列四個命題:
①EF∥AB;②直線EF是異面直線AC與BD的公垂線;③當二面角A-BD-C是直二面角時,AC與BD間的距離為
6
2
;④AC垂直于截面BDE.
其中正確的是
②③④
②③④
(將正確命題的序號全填上).

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科目:高中數學 來源: 題型:

給出下列四個命題,其中正確的命題的個數為(  )
①命題“?x0∈R,2x0≤0”的否定是“?x∈R,2x>0”;
log2sin
π
12
+log2cos
π
12
=-2;
③函數y=tan
x
2
的對稱中心為(kπ,0),k∈Z;
④[cos(3-2x)]=-2sin(3-2x)

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科目:高中數學 來源: 題型:

給出下列四個命題:
①函數y=ax(a>0且a≠1)與函數y=logaax(a>0且a≠1)的定義域相同;
②函數y=x3與y=3x的值域相同;
③函數y=
1
2
+
1
2x-1
y=
(1+2x)2
x•2x
都是奇函數;
④函數y=(x-1)2與y=2x-1在區(qū)間[0,+∞)上都是增函數,其中正確命題的序號是(  )

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