Question

【題目】

如圖所示多面體中，AD⊥平面PDC，ABCD為平行四邊形，E，F分別為AD，BP的中點，AD=，AP=，PC=.

（Ⅰ）求證：EF∥平面PDC；

（Ⅱ）若∠CDP＝90°，求證BE⊥DP;

（Ⅲ）若∠CDP＝120°，求該多面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）、（2）見解析；（3）.

【解析】

（Ⅰ）取PC的中點為O，連FO,DO，

∵F,O分別為BP，PC的中點，

∴∥BC，且,

又ABCD為平行四邊形,∥BC，且,

∴∥ED，且

∴四邊形EFOD是平行四邊形

即EF∥DO又EF平面PDC

∴EF∥平面PDC．

（Ⅱ）若∠CDP＝90°,則PD⊥DC，

又AD⊥平面PDC∴AD⊥DP,

∴PD⊥平面ABCD,

∵BE平面ABCD，

∴BE⊥DP

（Ⅲ）連結AC,由ABCD為平行四邊形可知與面積相等，

所以三棱錐與三棱錐體積相等，

即五面體的體積為三棱錐體積的二倍.

∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4

又∠CDP＝120°PC=2，

由余弦定理并整理得, 解得DC=2

∴三棱錐的體積

∴該五面體的體積為