Question

設(shè)函數(shù)
(1)若是函數(shù)的極值點，和是函數(shù)的兩個不同零點，且，求；
(2)若對任意，都存在（為自然對數(shù)的底數(shù)），使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）;（2） 

試題分析：（1）根據(jù)極值的定義,對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)為求出對應(yīng)的值為極值點,可得到一個關(guān)于的等式，又由函數(shù)零點的定義，可得,這樣就可解得的值;（2）由題中所給任意，可設(shè)出關(guān)于的函數(shù)，又由得的最大值，根據(jù)要求，使得成立，可將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，結(jié)合函數(shù)特點可求導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)與的大小關(guān)系，可想到對與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)的最值與的大小關(guān)系，從而得到的取值范圍．
試題解析：解（1），∵是函數(shù)的極值點，∴.∵1是函數(shù)的零點，得，
由解得.          4分
∴,，
，所以，故．    8分
（2）令，，則為關(guān)于的一次函數(shù)且為增函數(shù)，根據(jù)題意，對任意，都存在，使得成立，則在有解，
令，只需存在使得即可，
由于=，
令，，
∴在(1，e)上單調(diào)遞增，，            10分
①當(dāng)，即時，，即，在(1，e)上單調(diào)遞增，∴，不符合題意.             12分
②當(dāng)，即時，，
若，則，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，∴在(1，e)上單調(diào)遞減,
∴存在，使得，符合題意.             14分
若，則，∴在(1，e)上一定存在實數(shù)m，使得，∴在(1，m)上恒成立，即恒成立， 在(1，m)上單調(diào)遞減,∴存在，使得，符合題意.
綜上所述，當(dāng)時，對任意，都存在，使得成立.   16分