Question

已知點(diǎn)F是拋物線C：的焦點(diǎn)，S是拋物線C在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且|SF|=.

（Ⅰ）求點(diǎn)S的坐標(biāo)；

（Ⅱ）以S為圓心的動(dòng)圓與軸分別交于兩點(diǎn)A、B，延長SA、SB分別交拋物線C于M、N兩點(diǎn)；

①判斷直線MN的斜率是否為定值，并說明理由；

②延長NM交軸于點(diǎn)E，若|EM|=|NE|，求cos∠MSN的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）①詳見解析，②

【解析】

試題分析：（1）由拋物線定義等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，可求點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；（2）由已知直線斜率互為相反數(shù)，可設(shè)其中一條斜率為，寫出直線方程并與拋物線聯(lián)立之得關(guān)于的二次方程（其中有一根為1），或的一元二次方程（其中有一根為1），再利用韋達(dá)定理并結(jié)合直線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用代替得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入斜率公式看是否定值即可；（3）依題意，利用向量式得三點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，從而求，進(jìn)而可求直線的方程，再確定兩點(diǎn)坐標(biāo)，在中利用余弦定理求.

試題解析：（1）設(shè)(＞0)，由已知得F，則|SF|=，∴=1，∴點(diǎn)S的坐標(biāo)是(1,1)；

（2）①設(shè)直線SA的方程為

由得∴，∴.

由已知SA=SB，∴直線SB的斜率為，∴ ∴

②設(shè)E(t,0)，∵|EM|=|NE|，∴，

∴ ，則∴ ∴直線SA的方程為，則，同理 ,∴

考點(diǎn)：1、拋物線定義；2、韋達(dá)定理；3、余弦定理.